Математическая статистика с примерами в Excel. Воскобойников Ю.Е - 39 стр.

Вероятность γ называется надежностью интервальной оценки                                                                    р(х)
                                                                                  *     *
или доверительной вероятностью, случайные величины θ , θ –
                                                                       *
доверительными границами, а сам интервал (θ * , θ ) иногда назы-
вают доверительным интервалом. Центром этого интервала явля-
ется значение точечной оценки θ * .
     Надежность γ принято выбирать равной 0.95, 0.99. Тогда со-
                                                               *
бытие, состоящее в том, что интервал (θ * , θ ) покроет параметр                                                                                                                х
                                                                                                            − xγ                                              xγ
θ , будет практически достоверным.
    Общая теория построения интервальных оценок заключается в                                           Рис. 4.3. К построению доверительных интервалов
определении случайной величины, зависящей от оцениваемого па-
раметра. Зная распределение этой случайной величины, находят                                      Это значение легко находится с использованием интегральной
                                                                                                                                   x        t2
соответствующие доверительные границы и сам доверительный                                                                               −

интервал с требуемой точностью. Посмотрим, как эта идея реали-
                                                                                              функции Лапласа Φ ( x) =         1
                                                                                                                              2π   ∫e
                                                                                                                                   0
                                                                                                                                             2
                                                                                                                                                 dt . Действительно,

зуется для различных параметров.
                                                                                                             P (− xγ < N (0,1) < xγ ) = Φ ( xγ ) − Φ (− xγ ) = 2Φ ( xγ ) = γ . (4.9)
      4.3. Интервальные оценки математического ожидания
           нормального распределения                                                              Значение xγ , удовлетворяющее нелинейному уравнению
    Пусть генеральная совокупность Х распределена по нормаль-                                                                                         γ
                                                                                                                                   Φ ( xγ ) =             ,                                (4.10)
ному закону N (a,σ ) , причем параметр σ известен, а параметр a                                                                                       2
требуется оценить с надежностью γ . По теореме о распределении                                находится по табл. П1.
                                                                      ( X в − a) n                Так       как    σ > 0,     то        события               − xγ <   (X в −a )    n
                                                                                                                                                                                        < xγ   и
выборочных характеристик случайная величина                                           рас-                                                                                  σ
                                                                           σ                         xγ σ                   xγ σ
пределена по закону N (0,1) . На рис. 4.3 изображен график функ-                              Xв −