Математическая статистика с примерами в Excel. Воскобойников Ю.Е - 40 стр.

       xγ σ                         xγ σ                           xγ σ             Поэтому только для интервала (4.12) со случайными границами
Xв −          , правая – X в +                , а точность – δ =          . Центр   можно утверждать, что
         n                               n                           n
этого интервала находится в точке с координатой X в , а длина ин-                                      P ( X в − 1.31 < a < X в + 1.31) = 0.95 . ☻
              xγ σ                                                                      Определим теперь интервальную оценку для неизвестной ге-
тервала 2            . Если объем выборки неограниченно возрастает, то
                n                                                                   неральной средней x г нормально распределенной генеральной со-
интервал стягивается в одну точку X в , которая является состоя-                    вокупности Х в том случае, когда генеральная дисперсия Dг неиз-
тельной и несмещенной оценкой для параметра a .                                     вестна, т.е. построим доверительный интервал для параметра a ,
    ♦ Пример 4.1. По выборке объема п = 9 найдено среднее зна-                      если параметр σ неизвестен.
чение x в = 1.5 . Считая, что генеральная совокупность распреде-                        В отличие от предыдущего случая, вместо случайной величи-
лена по нормальному закону с σ = 2 , определить интервальную                            ( X в − a) n
                                                                                    ны               , распределенной по закону N (0,1) , рассмотрим
оценку для математического ожидания с надежностью γ = 0.95 .                                 σ
    Решение. Используя табл. П1, находим, что                                                               ( X в − a) n − 1
                                                                                    случайную величину                       , которая согласно следствию
                                                                                                                    Dв
                                         0.95
                            Φ ( xγ ) =        = 0.475
                                                                                    из теоремы 4.1 распределена по закону Стьюдента Tn −1 . При за-
                                          2
                                                                                    данном значении γ , пользуясь табл. П2, вычислим значение
при xγ = 1.96 . Тогда δ = 1.96 ⋅ 2 = 1.31 и доверительный интер-
                                              9                                     t (γ , n) из условия
вал (4.11) имеет границы ( X в − 1.31, X в + 1.31) . Таким образом, с                             ⎛              ( X − a) n − 1              ⎞
вероятностью 0.95 можно быть уверенным в том, что интервал                                       P⎜ − t (γ , n) < в              < t (γ , n) ⎟ = γ ,    (4.13)
                                                                                                  ⎜                    Dв                    ⎟
                                                                                                  ⎝                                          ⎠
                         ( X в − 1.31,       X в + 1.31)                   (4.12)   где γ – надежность интервальной оценки. Заметим, что в табл. П2
накроет параметр a или, другими словами, с вероятностью 0.95                        n означает не число степеней свободы, а объем выборки. Число
значение X в дает значение параметра а с точностью δ = 1.31.                        степеней свободы будет равно n − 1 .
    Заметим, что эта трактовка неверна, если вместо случайной                                                             ( X в − a) n
                                                                                        Замена случайной величины                          на случайную вели-
                                                                                                                                σ
величины X в использовать вычисленное по конкретной выборке
                                                                                           ( X в − a) n − 1
значение xв = 1.5. Тогда границы интервала (0.19, 2.81) будут не                    чину                    вызвана тем, что закон распределения послед-
                                                                                                   Dв
случайными и возможны два случая:
    • точка а лежит внутри этого интервала, тогда                                   ней случайной величины известен и в ее запись не входит неиз-
                                                                                    вестный в данном случае параметр σ . Из условия (4.13) получаем
                            Р(0.19 < а < 2.81) = 1;
    • точка а не лежит внутри (0.19, 2.81), тогда                                                  ⎛       t (γ , n) Dв            t (γ , n) Dв   ⎞
                                                                                                  P⎜ X в −              < a < Xв −                ⎟=γ .
                            Р(0.19 < а < 2.81) = 0.                                                ⎜              n −1                    n −1    ⎟
                                                                                                   ⎝                                              ⎠
                                         81                                                                             82