Составители:
Рубрика:
83
Таким образом, интервальная оценка надежности
γ
для неизвест-
ной генеральной средней а имеет границы
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
+
−
−
1
),(
,
1
),(
n
Dnt
X
n
Dnt
X
в
в
в
в
γγ
.
Выразим границы интервала через исправленную дисперсию
2
S .
Так как
в
D
n
n
S
1
2
−
=
, то
n
S
n
D
в
=
−1
. Поэтому
n
Snt
n
Dnt
в
),(
1
),(
γ
γ
=
−
.
Значит, границы доверительного интервала можно записать как
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+−
n
Snt
X
n
Snt
X
вв
),(
,
),(
γγ
, (4.14)
а точность интервальной оценки определить соотношением
S
n
nt ),(
γ
δ
= . (4.15)
Как и в предыдущем случае, центр интервала находится в точ-
ке
в
X , но длина интервала S
n
nt ),(
2
γ
является случайной величи-
ной, принимающей тем меньшие значения, чем больше значение п.
Это объясняется тем, что наличие большей информации
n
xx ,...,
1
о
генеральной совокупности Х позволяет сузить интервал.
♦ Пример 4.2. По выборке объема п = 9 из нормально распре-
деленной генеральной совокупности найдены значения
5.1
=
в
x и
2s
= . Построить интервальную оценку для математического ожи-
дания с надежностью
95.0
=
γ
.
Решение. Пользуясь табл. П2, находим величину
(0.95,9) 2.31t
= . Тогда точность
δ
определяется соотношением
84
(см. (4.15)):
(0.95,9) 2.31
0.77
3
tS
SS
n
δ
===, а интервальная оценка
имеет границы
(
)
0.77 , 0.77
вв
X
SX S
−
⋅+⋅, которые зависят от двух
случайных величин:
в
X и S. Подставляя вместо S ее вычисленное
значение s = 2, получаем интервал
(
)
1.54, 1.54
вв
XX−+
.
Сравнивая эту оценку с интервальной оценкой примера 4.1
(см. (4.12)), видим, что замена неизвестной величины
σ
вычис-
ляемой величиной s приводит к уменьшению точности интерваль-
ной оценки и увеличению длины доверительного интервала. Под-
ставив вместо случайной величины
в
X ее конкретное значение
5.1=
в
x , получаем конкретное значение границ (0, 3). ☻
4.4. Интервальные оценки дисперсии
нормального распределения
Как и при построении интервальных оценок для математиче-
ского ожидания, в данном случае также необходимо определить
случайную величину, распределение которой было известно и
включало оцениваемый параметр
σ
. В соответствии с теоремой 4.1
такой отправной точкой для построения доверительного интервала
может быть случайная величина
2
σ
в
nD
, распределенная по закону
χ
2
с
)1(
−
n степенями свободы. Заметим, что доверительные интер-
валы, построенные для параметра
a , вообще говоря, можно было
выбрать несимметричными относительно
в
X и это не противоре-
чило бы определению интервальной оценки. Но такой выбор ин-
тервала, когда в его середине лежит состоятельная и несмещенная
оценка параметра, являлся предпочтительным. В данном случае
целесообразно выбрать два предела
2
,
γ
χ
лев
и
2
,
γ
χ
пр
так, что
(
)
(
)
2
22
1
22
1
α
χχχχ
γγ
=>=<
−− ,прn,левn
PP ,
где
,1
γ
α
−
=
γ
– надежность интервальной оценки.
Таким образом, интервальная оценка надежности γ для неизвест- t (0.95,9) S 2.31
(см. (4.15)): δ = = S = 0.77 S , а интервальная оценка
ной генеральной средней а имеет границы n 3
⎛ ⎞ имеет границы ( X в − 0.77 ⋅ S , X в + 0.77 ⋅ S ) , которые зависят от двух
⎜ X − t (γ , n) Dв , X + t (γ , n) Dв ⎟.
⎜ в n −1
в
n −1 ⎟ случайных величин: X в и S. Подставляя вместо S ее вычисленное
⎝ ⎠
значение s = 2, получаем интервал
Выразим границы интервала через исправленную дисперсию S 2 .
Dв
(X в − 1.54, X в + 1.54 ) .
Так как S 2 = n Dв , то = S . Поэтому
n −1 n −1 n Сравнивая эту оценку с интервальной оценкой примера 4.1
(см. (4.12)), видим, что замена неизвестной величины σ вычис-
t (γ , n) Dв t (γ , n) S ляемой величиной s приводит к уменьшению точности интерваль-
= . ной оценки и увеличению длины доверительного интервала. Под-
n −1 n
ставив вместо случайной величины X в ее конкретное значение
Значит, границы доверительного интервала можно записать как
xв = 1.5 , получаем конкретное значение границ (0, 3). ☻
⎛ t (γ , n) S t (γ , n) S ⎞
⎜⎜ X в − , Xв + ⎟⎟ , (4.14) 4.4. Интервальные оценки дисперсии
⎝ n n ⎠
нормального распределения
а точность интервальной оценки определить соотношением Как и при построении интервальных оценок для математиче-
t (γ , n) ского ожидания, в данном случае также необходимо определить
δ = S. (4.15) случайную величину, распределение которой было известно и
n включало оцениваемый параметр σ. В соответствии с теоремой 4.1
Как и в предыдущем случае, центр интервала находится в точ- такой отправной точкой для построения доверительного интервала
t (γ , n) nDв
ке X в , но длина интервала 2 S является случайной величи- может быть случайная величина , распределенная по закону χ2
σ2
n
с (n − 1) степенями свободы. Заметим, что доверительные интер-
ной, принимающей тем меньшие значения, чем больше значение п.
Это объясняется тем, что наличие большей информации x1 ,..., x n о валы, построенные для параметра a , вообще говоря, можно было
выбрать несимметричными относительно X в и это не противоре-
генеральной совокупности Х позволяет сузить интервал.
♦ Пример 4.2. По выборке объема п = 9 из нормально распре- чило бы определению интервальной оценки. Но такой выбор ин-
деленной генеральной совокупности найдены значения xв = 1.5 и тервала, когда в его середине лежит состоятельная и несмещенная
оценка параметра, являлся предпочтительным. В данном случае
s = 2 . Построить интервальную оценку для математического ожи- 2 2
дания с надежностью γ = 0.95 . целесообразно выбрать два предела χ лев ,γ и χ пр ,γ так, что
Решение. Пользуясь табл. П2, находим величину
t (0.95,9) = 2.31 . Тогда точность δ определяется соотношением
(
P χ n2−1 < χ лев
2
) (2 2
,γ = P χ n −1 > χ пр ,γ = ) α
2
,
где α = 1 − γ , γ – надежность интервальной оценки.
83 84
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 39
- 40
- 41
- 42
- 43
- …
- следующая ›
- последняя »
