Математическая статистика с примерами в Excel. Воскобойников Ю.Е - 43 стр.

                                     p* − p                                                   Корни этого уравнения и являются границами интервальной оцен-
                                                = N (0,1) .                                   ки (4.18)
                                      pq / n
                                                                                                                      p лев ,γ = p1;        pпр ,γ = p2 .                         (4.22)
По аналогии с (4.8) найдем такое число xγ , для которого справед-
ливо равенство
                                                                                              Если п >> 100, то для вычисления p1 , p2 можно использовать при-
                            ⎛        p −p   *     ⎞                                           ближенные формулы:
                          P ⎜ − xγ <         < xγ ⎟ = γ .                            (4.19)
                            ⎜         pq / n      ⎟                                                       p1 ≈ p* − xγ   p* (1 − p* ) n ; p2 ≈ p* + xγ         p* (1 − p* ) n . (4.23)
                            ⎝                     ⎠
    Это число является корнем уравнения                                                       Видно, что границы интервала (4.18) являются случайными вели-
                                                                                              чинами и конкретные значения границ получаются в результате
                                      Φ ( xγ ) = γ 2 ,
                                                                                              подстановки наблюдаемого значения случайной величины р*.
где Φ (x) – функция Лапласа, и корень может быть найден с по-
                                                                                                   ♦ Пример 4.4. Событие А в серии из п = 100 испытаний про-
мощью табл. П1.
                                                                                              изошло т = 78 раз. Построить интервальную оценку для вероятно-
    Неравенство, стоящее в скобках выражения (4.19), разрешим
                                                                                              сти р события с надежностью γ = 0.9 .
относительно р. Для этого неравенство перепишем в виде эквива-
                                                                                                   Решение. Значение точечной оценки вероятности р равно
                             p* − p
лентного неравенства                      < xγ . Возведем в квадрат, в резуль-                p * = 78 / 100 = 0.78 . По табл. П1 определяем xγ = 1.64 и вычис-
                                 pq / n
                                                                                              ляем   по     формулам         (4.20),        (4.21)    значения          p1 , p2     при
                      *      2p(1 − p) 2
тате получим ( p − p ) <              xγ . Далее, возведя в квадрат
                                 n                                                            p * = 0.78 : p1 = 0.705,       p2 = 0.848 . Таким образом, получили
                                                                                              реализацию доверительного интервала (0.705, 0.848) для вероятно-
( p * − p ) и перенеся все члены влево, получим
                                                                                              сти р события А. ☻
                      ⎛   x2 ⎞       ⎛        x2 ⎞                                                 Интервальная оценка вероятности при малом числе испы-
                      ⎜1 + γ ⎟ p 2 − ⎜ 2 p * + γ ⎟ p + p * < 0 .
                                                          2

                      ⎜      ⎟       ⎜           ⎟                                            таний. При малом числе испытаний п предположение о прибли-
                      ⎝    n ⎠       ⎝         n ⎠
                                                                                              женном распределении случайной величины m по нормальному за-
Корни p1 и p2 квадратного трехчлена, стоящего в правой части                                  кону m = N (np, npq ) становится несправедливым. Для описания
неравенства, определяются выражениями                                                         распределения величины m необходимо использовать формулу
                                                                                              Бернулли:
                      p* + xγ2 (2n) − xγ         p* (1 − p* ) n + xγ2 ( 4n 2 )
               p1 =
                                            1 + xγ2 n
                                                                                 ;   (4.20)                   P( m = x ) = Cnx p x (1 − p ) n − x ,         x = 0,1,..., n .

                                                                                              Можно показать, что граничные точки интервальной оценки (4.18)
             p* + xγ2 (2n) + xγ       p* (1 − p* ) n + xγ2 (4n 2 )                            являются решениями следующих нелинейных уравнений:
      p2 =                                                            .              (4.21)
                                   1 + xγ2 n

                                           87                                                                                          88