Математическая статистика с примерами в Excel. Воскобойников Ю.Е - 42 стр.

                     2
    Следовательно, χ лев                                                     0.98. По табл. П3 квантилей χ2-распределения находим
                         ,γ – квантиль χ n −1 -распределения уровня
                                         2

                                                                                                   2                     2
        2
α 2 , χ пр ,γ – уровня 1 − α 2 . Тогда имеет место равенство
                                                                                                 χ лев ,γ = 8.6 ;      χ пр ,γ = 33.7 .

 ⎛ 2          nDв     2     ⎞                                                Тогда интервальная оценка (4.16) принимает вид
P⎜ χ лев ,γ <   2
                  < χ пр ,γ ⎟ = γ , а интервал
 ⎝            σ             ⎠                                                                            ( 0.59 Dв , 2.33 Dв ) .
                       ⎛ nD     nD         ⎞                                 Подставляя вычисленное значение d в = 1.5 случайной величины
                       ⎜    в
                              , 2 в        ⎟                        (4.16)
                       ⎜ χ2                ⎟                                 Dв , получаем
                       ⎝ пр,γ χ лев,γ      ⎠
                                               2                                                        0.89 < σ 2 < 3.488. ☻
является интервальной оценкой для σ                надежности γ .
                             2
    Так как Dв = (n − 1) S       n , то nDв = (n − 1) S 2 и интервал             4.5. Интервальная оценка вероятности события
                                                                                 В п. 3.4 было показано, что "хорошей" точечной оценкой ве-
                       ⎛ n −1                  ⎞
                       ⎜        2 n −1        2⎟                             роятности р события является частность p * = m / n (см. (3.17)),
                              S  ,          S                       (4.17)
                       ⎜ χ2          2
                                   χ лев       ⎟                             где п – общее число независимых испытаний, в каждом из которых
                       ⎝ пр,γ            ,γ    ⎠                             событие А может произойти с вероятностью р, а m – число испыта-
является также интервальной оценкой для дисперсии σ2 надежно-                ний, в которых произошло событие А.
сти γ.                                                                            Зададимся надежностью интервальной оценки γ и найдем
     Заметим, что границы интервалов (4.16), (4.17) являются слу-            числа p лев ,γ , p пр ,γ такие, чтобы выполнялось соотношение
чайными величинами (почему?) и с вероятностью γ можно утвер-
ждать, что интервалы (4.16), (4.17) накроют неизвестную диспер-                                  P ( p лев ,γ < p < pпр ,γ ) = γ .           (4.18)
      2
сию σ .                                                                          Интервальную оценку построим для двух случаев: когда число
    ♦ Пример 4.3. По выборке объема п = 20 из нормально рас-                 испытаний п сравнительно велико (np > 10, n > 30) и для малого
пределенной генеральной совокупности вычислено значение дис-
                                                                             числа испытаний.
персии выборки d в = 1.5 . Построить интервальную оценку для                     Интервальная оценка вероятности при большом числе ис-
параметра σ2 надежности γ = 0.96.                                            пытаний. Если np > 10, n > 30 , то распределение случайной ве-
                        2          2
    Решение. Значения χ лев ,γ , χ пр ,γ находим из условий:                                m
                                                                             личины p * =     можно аппроксимировать нормальным распреде-
                                                                                            n
       (
    P χ192 < χ лев
               2
                   )
                   ,γ = 0.02;     (
                              P χ192 < χ пр
                                         2
                                                   )
                                            ,γ = 0.98.
                                                                             лением N ( p, pq / n ) . Следовательно, при этих же условиях рас-
                            2
Эти условия означают, что χ лев ,γ есть квантиль χ -распределения
                                                  2                                              ( p* − p)
                                                                             пределение величины           близко к нормальному с нулевым
                                        2                                                           pq / n
с 19 степенями свободы уровня 0.02, а χ пр ,γ – квантиль уровня              математическим ожиданием и единичной дисперсией, т.е.
                                      85                                                                        86