Математическая статистика с примерами в Excel. Воскобойников Ю.Е - 38 стр.

    а) случайная величина X в распределена нормально с пара-                                       ( X в − a) n − 1
метрами (a, σn ) ;                                                                                         Dв

    б) nDв σ 2 имеет распределение χ n2−1 ;                          имеет распределение Стьюдента с ( n − 1 ) степенями свободы.
    в) случайные величины X в и Dв независимы.                       Напомним, что исправленная дисперсия S 2 определяется как
    Мы не будем полностью доказывать эту теорему, а ограни-                                                   n
чимся доказательством утверждения а). Очевидно, что X в есть                                        S2 =         Dв .
                                                                                                            n −1
линейная комбинация                                                      Тогда получаем новое
                             1          1                 1
                      Xв =   n
                                 X1 +   n
                                            X 2 + ... +   n
                                                              Xn         Следствие. Если условия теоремы о распределении выбороч-
                                                                     ных характеристик выполнены, то случайная величина
независимых, нормально распределенных случайных величин. Как
отмечалось в курсе теории вероятностей, в этом случае случайная                                     ( X в − a) n
величина X в распределена нормально. Легко получить, что                                                    S2

           ⎛ x + x2 + ... + xn ⎞ M ( x1 ) + ... + M ( xn ) na        имеет распределение с ( n − 1 ) степенями свободы.
M (Xв) = M ⎜ 1                 ⎟=                         =   =a,
           ⎝        n          ⎠             n              n            4.2. Понятие интервальной оценки параметра
                                                         2                    случайной величины
            ⎛ x + ... + xn ⎞ D ( x1 ) + ... + D( xn ) nσ     σ2
D( X в ) = D⎜ 1            ⎟=                        =     =    .        Вычисляя на основании результатов наблюдений точечную
            ⎝      n       ⎠            n2             n2     n
Тем самым первое утверждение теоремы доказано.                       оценку θ * неизвестного параметра θ , мы понимаем, что величина
    Как следует из в), используя случайные величины X в и Dв ,       θ * является (в силу своей случайности) лишь приближенным зна-
можно составить случайную величину Tn −1 . Действительно, про-       чением параметра θ . При большом числе наблюдений точность
                         ( X в − a) n                                приближения бывает достаточной для практических выводов в си-
нормировав X в , получим              = N (0,1) . Так как X в и Dв   лу несмещенности, состоятельности и эффективности "хороших"
                                   σ
независимы, то по (4.5)                                              оценок. Для выборок малого объема точечные оценки могут значи-
              ( X − a ) n n − 1 nDв ( X в − a ) n − 1                тельно отличаться от оцениваемого параметра и вопрос о точности
       Tn −1 = в               :    =                 .              получаемых оценок становится очень важным. В математической
                       σ         σ2          Dв
                                                                     статистике он решается введением интервальных оценок.
Итак, мы получили
                                                                         Интервальной оценкой для параметра θ называется такой ин-
    Следствие. Если условия теоремы о распределении выбороч-
                                                                     тервал ⎛⎜ θ * ,θ ⎞⎟ со случайными границами, что
                                                                                     *
ных характеристик выполнены, то случайная величина
                                                                            ⎝      ⎠
                                                                                                  *          *
                                                                                              P (θ < θ < θ ) = γ .                  (4.7)
                                    77                                                                 78