Теория вероятностей. Воскобойников Ю.Е - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

НГАСУ «Сибстрин» | Новосибирск

Составители: 

Рубрика: 

24
).(
)(
)()(
)(
)()(
)(
)(
)( BP
AP
APBP
AP
BAPBP
AP
BAP
ABP ====
Для независимых событий вероятность произведения нахо-
дится особенно просто:
Р(АВ) = Р(А)
⋅
Р(В).
Формула для вычисления вероятности произведения 2-х со-
бытий по индукции обобщается на случай n сомножителей:
Р(А
1
А
2
... А
n
) = Р(А
1
)
⋅
Р(А
2
/А
1
) ... Р(А
n
/А
1
А
2
... А
n-1
).
Приведем несколько примеров применения этих формул.
* Пример 1.14. В урне содержится а белых и в черных ша-
ров. (а
>
1, b>0). Наугад извлекается 2 шара. Какова вероятность,
что они белые? •
• Введем обозначения для событий :
А = {первый извлеченный шар белый},
В = {второй извлеченный шар белый}.
Требуется найти вероятность события АВ.
.
1
1
)/()()(
−+
−
⋅
+
=⋅=
ba
a
ba
a
ABPAPABP
* Пример 1.15. Имеется n различных замков и n ключей от
них. Какова вероятность, что выбирая ключ наугад, человек от-
кроет все замки с первого раза (ключ, которым открыли дверь из
замка не вынимается)? •
•Обозначим событие:
А = {все замки открыты с первого раза},
А
i
= {i-ый замок открыт с первого раза}.
Так как А = А
1
А
2
... А
n
, то
!
1
1
1
1
11
)/()/()()(
11121
nnn
AAАPААPАPАP
nn
=⋅⋅
−
⋅=⋅=
−
LKK
.
Используя понятие условной вероятности, выведем форму-
лу полной вероятности. Пусть Н
1
, Н
2
, ..., Н
n
- полная группа
событий, А - произвольное событие, вероятность которого не-
                    P( BA) P( B )P( A B ) P( B )P( A)
       P ( B A) =          =             =            = P ( B ).
                    P ( A)     P( A)         P( A)
    Для независимых событий вероятность произведения нахо-
дится особенно просто:
                            Р(АВ) = Р(А) ⋅ Р(В).
    Формула для вычисления вероятности произведения 2-х со-
бытий по индукции обобщается на случай n сомножителей:

          Р(А1 А2 ... Аn) = Р(А1) ⋅ Р(А2 /А1) ... Р(Аn /А1А2 ... А n-1).

     Приведем несколько примеров применения этих формул.
     * Пример 1.14. В урне содержится а белых и в черных ша-
ров. (а>1, b>0). Наугад извлекается 2 шара. Какова вероятность,
что они белые? •
     • Введем обозначения для событий :
     А = {первый извлеченный шар белый},
     В = {второй извлеченный шар белый}.
     Требуется найти вероятность события АВ.
                                                a     a −1
            P( AB ) = P ( A) ⋅ P ( B / A) =        ⋅         .
                                              a + b a + b −1
    * Пример 1.15. Имеется n различных замков и n ключей от
них. Какова вероятность, что выбирая ключ наугад, человек от-
кроет все замки с первого раза (ключ, которым открыли дверь из
замка не вынимается)? •
    •Обозначим событие:
                  А = {все замки открыты с первого раза},
                  Аi = {i-ый замок открыт с первого раза}.
    Так как А = А1 А2 ... Аn, то
                                                      1 1       1 1
P( А) = P( А1 ) ⋅ P( А2 / А1 )K P( Аn / A1 K An −1 ) = ⋅     ⋅L⋅ = .
                                                      n n −1    1 n!
      Используя понятие условной вероятности, выведем форму-
лу полной вероятности. Пусть Н1, Н2, ..., Нn - полная группа
событий, А - произвольное событие, вероятность которого не-

                                        24

Страницы