Теория вероятностей. Воскобойников Ю.Е - 30 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

НГАСУ «Сибстрин» | Новосибирск

Составители: 

Рубрика: 

32
при любых m = 0, 1, 2, ... .
■ Пусть
n
np
λ
= .
() (1 )
(1)( 1)
1
!
11
11 11.
!
mm nm
nn
mnm
nn
nm
m
nn n
Pm CP P
nn n m
mnn
m
mn n n n
λλ
λλ λ
−
−
−
=−=
−−+
⎛⎞⎛ ⎞
=−=
⎜⎟⎜ ⎟
⎝⎠⎝ ⎠
−
⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛ ⎞
=− − − −
⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜ ⎟
⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝ ⎠
K
K
При фиксированном m и n
→
∞
получим:
.1
1
1
2
1
1
1
,11,1,
→
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
→
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−→
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−→
−
−
n
m
nn
n
e
n
m
n
n
n
mm
n
K
λλ
λλ
λ
Поэтому Р
n
(m)→
λ
λ
−
e
m
m
!
при n
∞
→ . ■
Применение приближения Р
n
(m)
λ
λ
−
≈ e
m
m
!
оправдано,
когда
np
<
10, p< 0,1.
* Пример 2.3. В машине 10.000 деталей. Для n
1
= 1000 де-
талей вероятность брака Р
1
= 0,0003, для n
2
= 2000 вероятность
брака Р
2
= 0,0002, для n
3
= 7000 вероятность брака Р
3
= 0,0001.
Если неисправны две или более детали, то машина не работает.
Какова вероятность, что машина не будет работать?
Введем обозначения:
S
n
(1)
- число неисправных деталей из 1-й группы,
S
n
(2)
- число неисправных деталей из 2-й группы,
S
n
(3)
- число неисправных деталей из 3-й группы.
S
n
= S
n
(1)
+ S
n
(2)
+ S
n
(3)
- общее число неисправных дета-
лей
P(
S
n
= 0) = P(S
n
(1
)
= 0, S
n
(2)
= 0, S
n
(3
)
= 0) = 
при любых m = 0, 1, 2, ... .
     ■ Пусть λn = np .
      Pn ( m ) = Cnm P m (1 − P ) n −m =
                                                       m                  n −m
          n( n − 1) K ( n − m + 1) ⎛ λ n ⎞ ⎛ λ n ⎞
      =                            ⎜     ⎟ ⎜1 −   ⎟                              =
                     m!            ⎝ n ⎠ ⎝      n ⎠
                          n                       −m
          λ⎛ λ n⎞ ⎛ λ n⎞
              m
                                                       ⎛ 1 ⎞ ⎛ m −1⎞
      =    ⎜1 −
              n
                  ⎟ ⎜1 −   ⎟                           ⎜ 1 − ⎟ K⎜ 1 −   ⎟.
        m! ⎝    n ⎠ ⎝    n ⎠                           ⎝ n⎠ ⎝         n ⎠
При фиксированном m и n → ∞ получим:
                                              n                                  −m
                        ⎛ λn ⎞      −λ ⎛   λ ⎞
              λm    m
               n → λ , ⎜1 −    ⎟ → e , ⎜1 − n ⎟                                       → 1,
                        ⎝    n ⎠       ⎝    n ⎠
              ⎛   1 ⎞⎛   2 ⎞ ⎛ m − 1⎞
              ⎜1 − ⎟⎜1 − ⎟K ⎜1 −    ⎟ → 1.
              ⎝ n ⎠⎝ n ⎠ ⎝       n ⎠

                              λm
      Поэтому Рn(m)→               e − λ при n → ∞ .                             ■
                              m!

                                                                   λm
      Применение приближения                           Рn(m) ≈            e−λ        оправдано,
                                                                    m!
когда np< 10, p< 0,1.
      * Пример 2.3. В машине 10.000 деталей. Для n1 = 1000 де-
талей вероятность брака Р1 = 0,0003, для n2 = 2000 вероятность
брака Р2 = 0,0002, для n3 = 7000 вероятность брака Р3 = 0,0001.
Если неисправны две или более детали, то машина не работает.
Какова вероятность, что машина не будет работать?
      Введем обозначения:
      Sn(1) - число неисправных деталей из 1-й группы,
      Sn(2) - число неисправных деталей из 2-й группы,
      Sn(3) - число неисправных деталей из 3-й группы.
      Sn = Sn(1) + Sn(2) + Sn(3) - общее число неисправных дета-
лей
                        (1)             (2)                (3)
      P(Sn= 0) = P(Sn         = 0, Sn         = 0, Sn            = 0) =
                                                   32

Страницы