Теория вероятностей. Воскобойников Ю.Е - 36 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

НГАСУ «Сибстрин» | Новосибирск

Составители: 

Рубрика: 

38
из таких важнейших числовых характеристик является среднее
значение случайной величины, вокруг которого группируются
все ее значения. Так, например, при изучении распределения не-
которого экономического показателя работы данного СМУ преж-
де всего интересуются его средним значением.
Рассмотрим дискретную случайную величину X, прини-
мающую конечное множество x
1
, ...,x
n
различных значений.
Пусть проведено N испытаний, в каждом из которых мы регист-
рировали появившееся значение случайной величины X. Предпо-
ложим, что значение x
i
встретилось m
i
раз, i = 1, 2, ..., n. Число
m
i
называется частотой появления значения x
i
в данной серии N
опытов, а число m
i
/N - относительной частотой.
Одной из эмпирических предпосылок возникновения науки о
вероятностях послужил тот факт, что относительные частоты об-
ладают свойством стабильности в сериях из большого числа N
опытов. Позже этот эмпирический факт, известный как теорема
Бернулли, будет строго доказан. Мы убедимся в том, что относи-
тельные частоты m
i
/N имеют своим пределом вероятности P
i
событий {X = x
i
}.
Определим среднее значение случайной величины X. Оно
равно
....
1
1
11
N
m
x
N
m
x
N
mxmx
n
n
nn
++=
+
+K
Это значение близко в силу вышеизложенных аргументов к
числу
x
1
p
1
+ ... + x
n
p
n
. Последнее называют математическим ожида-
нием случайной величины. Дадим теперь строгое определение
математического ожидания дискретной случайной величины X,
имеющий закон распределения P(X =
x
i
) = p
i
.
Если
∑
i
ii
px < ∞, то математическим ожиданием случай-
ной величины X называют число
∑
=
i
ii
pxXM )( . 
из таких важнейших числовых характеристик является среднее
значение случайной величины, вокруг которого группируются
все ее значения. Так, например, при изучении распределения не-
которого экономического показателя работы данного СМУ преж-
де всего интересуются его средним значением.
      Рассмотрим дискретную случайную величину X, прини-
мающую конечное множество x1, ...,xn различных значений.
Пусть проведено N испытаний, в каждом из которых мы регист-
рировали появившееся значение случайной величины X. Предпо-
ложим, что значение xi встретилось mi раз, i = 1, 2, ..., n. Число
mi называется частотой появления значения xi в данной серии N
опытов, а число mi/N - относительной частотой.
     Одной из эмпирических предпосылок возникновения науки о
вероятностях послужил тот факт, что относительные частоты об-
ладают свойством стабильности в сериях из большого числа N
опытов. Позже этот эмпирический факт, известный как теорема
Бернулли, будет строго доказан. Мы убедимся в том, что относи-
тельные частоты mi/N имеют своим пределом вероятности Pi
событий {X = xi}.
     Определим среднее значение случайной величины X. Оно
равно
                x1m1 +K+ xn mn     m          m
                               = x1 1 +...+ xn n .
                      N            N           N
     Это значение близко в силу вышеизложенных аргументов к
числу
x1p1 + ... + xnpn. Последнее называют математическим ожида-
нием случайной величины. Дадим теперь строгое определение
математического ожидания дискретной случайной величины X,
имеющий закон распределения P(X = xi) = pi.
     Если  ∑    xi pi < ∞, то математическим ожиданием случай-
            i
ной величины X называют число
                          M ( X ) = ∑ xi pi .
                                    i


                                   38

Страницы