Теория вероятностей. Воскобойников Ю.Е - 37 стр.

    Так, например, математическое ожидание случайной вели-
чины X из примера 2.4 выражается в виде ряда
                                      ∞
                                               5i −1
                         M ( X ) = ∑i                  .
                                           i
                                    i =1 36
    Позже мы вычислим сумму этого сходящегося ряда.
    Если случайная величина Z является функцией случайных
величин X и Y, т.е. Z = f(X, Y), то математическое ожидание
M(Z) можно вычислить по формуле:
                 M ( f ( X ,Y )) = ∑ f ( xi , y j ) P( X = xi ,Y = yi ),
                                   i, j
    где xi пробегают все значения случайной величины X, а yj
- случайной величины Y.
    Рассмотрим свойства математического ожидания дискретной
случайной величины.
    1. Математическое ожидание постоянной равно этой посто-
янной, т.е. если С = const, то M( C ) = C.
    ■ Действительно, константу можно рассматривать как слу-
чайную величину, принимающую значение С с вероятностью 1.
Поэтому M( C ) = C ⋅ 1 = C.    ■
    2. Постоянную величину можно выносить за знак математи-
ческого ожидания, т.е. M(cX) = cM(X).
       ■ Согласно определению случайной величины cX, ее зна-
чения c xi, а вероятности P(cX = cxi) = P(X = xi). Поэтому
 M ( cX ) = ∑ cxi P( X = xi ) = c ∑ xi P( X = xi ) = cM ( X ). ■
             i                            i
    3. Математическое ожидание суммы случайных величин
равно сумме математических ожиданий слагаемых, т.е.
                        M(X + Y) = M(X) + M(Y).
    ■ Доказательство проведем лишь для случая, когда случай-
ные величины X и Y имеют конечное множества значений
xi , i = 1, n и y j , j = 1, m , соответственно. При доказательстве бу-
дем использовать следующие равенства:
                                              39