Теория вероятностей. Воскобойников Ю.Е - 39 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

НГАСУ «Сибстрин» | Новосибирск

Составители: 

Рубрика: 

41
∑∑
∑∑ ∑ ∑
∑∑∑∑
∑
∑
+==+==
===+===
===+===
===+==
ij
jjii
ij ji
jijjii
ji
jijj
ij
ii
jiji
jijjii
YMXMyYPyxXPx
yYxXPyyYxXPx
yYxXPyyYxXPx
yYxXPyyYxXPx
).()()()(
),(),(
),(),(
),(),(
,,
4. Математическое ожидание произведения независимых
случайных величин равно произведению математических ожида-
ний сомножителей, т.е. M(X Y) = M(X)⋅M(Y).
■ Как и в предшествующем случае доказательство прове-
дем лишь для случайных величин, принимающих конечные мно-
жества значений:
,
,
() ( , )
()()
()()
()()
() ( ) () ( ).
ij i j
ij
ij i j
ij
iiij
ij
ii
i
ii
i
MXY xyPX xY y
xyP X x PY y
xP X x yPY y
xP X x M Y
M
YxPXxMYMX
====
====
== ==
===
===
∑
∑
∑∑
∑
∑
Используя свойства математического ожидания, вычислим
его для случайной величины, распределенной по биномиально-
му закону.
Пусть, как и ранее,
S
n
- количество появлений события А в n
независимых опытах. Случайная величина
S
n
определена на про-
странстве элементарных исходов
Ω
. Элементарными исходами
являются всевозможные последовательности длины n, состав-
  ∑ xi P( X = xi ,Y = y j ) + ∑ y j P( X = xi ,Y = y j ) =
  i, j                                    i, j
  = ∑∑ xi P( X = xi ,Y = y j ) + ∑∑ y j P( X = xi ,Y = y j ) =
         i   j                                   j    i
  = ∑ xi ∑ P ( X = xi ,Y = y j ) + ∑ y j ∑ P( X = xi ,Y = y j ) =
         i       j                               j        i
  = ∑ xi P( X = xi ) + ∑ y j P (Y = y j ) = M ( X ) + M (Y ). „
         i                           j

      4. Математическое ожидание произведения независимых
случайных величин равно произведению математических ожида-
ний сомножителей, т.е. M(X Y) = M(X)⋅M(Y).
      ■ Как и в предшествующем случае доказательство прове-
дем лишь для случайных величин, принимающих конечные мно-
жества значений:
                     M ( XY ) = ∑ xi y j P( X = xi , Y = y j ) =
                                   i, j

                     = ∑ xi y j P( X = xi ) P(Y = y j ) =
                       i, j

                     = ∑ xi P( X = xi )∑ yi P(Y = y j ) =
                        i                   j

                     = ∑ xi P( X = xi ) M (Y ) =
                        i

                     = M (Y )∑ xi P ( X = xi ) = M (Y ) M ( X ). „
                               i


    Используя свойства математического ожидания, вычислим
его для случайной величины, распределенной по биномиально-
му закону.
    Пусть, как и ранее, Sn - количество появлений события А в n
независимых опытах. Случайная величина Sn определена на про-
странстве элементарных исходов Ω . Элементарными исходами
являются всевозможные последовательности длины n, состав-

                                                     41

Страницы