Теория вероятностей. Воскобойников Ю.Е - 40 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

НГАСУ «Сибстрин» | Новосибирск

Составители: 

Рубрика: 

42
ленные из символов А и
A (см. вывод формулы Бернулли). Оп-
ределим на
Ω
случайные величины
)()2()1(
,,,
n
nnn
SSS K по прави-
лу:
,1)(
)(
=
ω
i
n
S если i-й символ в
ω
есть А и ,0)(
)(
=
ω
i
n
S если
i-ый символ в
ω
есть
A
. Так как S
n
(
ω
) равно количеству сим-
волов А, встречающихся в записи
ω
, то
S
n
=
)()2()1( n
nnn
SSS +++ K . Далее, 1)(
)(
=
ω
i
n
S тогда и только то-
гда, когда в i-ом испытании произошло событие А. Поэтому
pSP
i
n
== )1(
)(
, где р - вероятность появления события А в
одном опыте, постоянная для всех опытов. Аналогично,
pSP
i
n
−== 1)0(
)(
. Для любого i = n,1
M(
S
n
(i)
) = 1
⋅
p + 0
⋅
(1- p) = p.
Воспользовавшись аддитивностью математического ожидания
(свойство 3) для любого количества слагаемых, получим:
M(
S
n
) = M(S
n
(1)
+ ... + S
n
(n)
) = M(S
n
(1)
) + ... + M(S
n
(n)
) =
p
n ⋅ .
Итак, математическое ожидание случайной величины, рас-
пределенной по биномиальному закону равно
np, где n - коли-
чество независимых опытов, а
p - вероятность появления собы-
тия в одном опыте.
Вычислим математическое ожидание случайной вели-
чины, имеющей геометрическое распределение
P(X = m)= (1- p)
m-1
⋅
p, где m = 1, 2, ...
Обозначим q = 1 - p. Так как 0 < p < 1, то q находится в тех
же пределах. Если рассмотреть
∑
∞
=1m
m
q как степенной ряд от пе-
ременной q, то при |q| < 1 производная от суммы ряда равна
сумме производных слагаемых, т.е.
'
1
11
.
mm
mm
q
qmq
∞∞
−
==
⎛⎞
=
⎜⎟
⎝⎠
∑∑
ленные из символов А и A (см. вывод формулы Бернулли). Оп-
ределим на Ω случайные величины S n(1) ,Sn( 2 ) ,K,Sn( n ) по прави-
лу: S n(i ) (ω ) = 1, если i-й символ в ω есть А и S n(i ) (ω ) = 0, если
i-ый символ в ω есть A . Так как Sn(ω) равно количеству сим-
волов    А,    встречающихся     в    записи        ω,    то
     (1)  ( 2)      (n)          (i )
Sn= Sn +Sn + K +Sn . Далее, Sn (ω ) = 1 тогда и только то-
гда, когда в i-ом испытании произошло событие А. Поэтому
P( Sn(i ) = 1) = p , где р - вероятность появления события А в
одном опыте, постоянная для всех опытов. Аналогично,
P( Sn(i ) = 0) = 1 − p . Для любого i = 1,n
                               (i)
                           M(Sn ) = 1 ⋅ p + 0 ⋅ (1- p) = p.
Воспользовавшись аддитивностью математического ожидания
(свойство 3) для любого количества слагаемых, получим:
                 (1)
  M(Sn) = M(Sn         + ... + Sn(n)) = M(Sn(1)) + ... + M(Sn(n)) = n ⋅ p .
     Итак, математическое ожидание случайной величины, рас-
пределенной по биномиальному закону равно np, где n - коли-
чество независимых опытов, а p - вероятность появления собы-
тия в одном опыте.
     Вычислим математическое ожидание случайной вели-
чины,       имеющей         геометрическое         распределение
                m-1
P(X = m)= (1- p) ⋅ p, где m = 1, 2, ...
     Обозначим q = 1 - p. Так как 0 < p < 1, то q находится в тех
                                            ∞
же пределах. Если рассмотреть              ∑ qm      как степенной ряд от пе-
                                           m =1
ременной q, то при |q| < 1 производная от суммы ряда равна
сумме производных слагаемых, т.е.
                                       '
                             ⎛ ∞ m⎞     ∞
                             ⎜ ∑ q ⎟ = ∑ mq .
                                           m −1

                             ⎝ m=1 ⎠ q m=1

                                                42

Страницы