Теория вероятностей. Воскобойников Ю.Е - 41 стр.

     Так как
                                          ∞
                                                             q
                                         ∑ qm = 1 − q ,
                                         m =1
то
                 ∞
                                          ⎛ q ⎞′                    1            1
                 ∑ mq m −1 = ⎜⎜ 1 − q ⎟⎟                     =
                                                                 (1 − q) 2
                                                                             =
                                                                                 p2
                                                                                      .
                m =1                      ⎝           ⎠q
Поэтому
                                                  1          1
                            M (X ) = p                   =     .
                                                     2       p
                                                 p
    Используя эту формулу, получим, что математическое ожи-
дание случайной величины X из примера 2.4 существует и равно
36/5.
    Вычислим математическое ожидание случайной величи-
                                                                                      λm
ны, распределенной по закону Пуассона P ( X = m ) =                                        e−λ ;
                                                                                      m!
m = 0, 1, 2, ...; λ > 0. Имеем

                                ∞
                                         λm
               M(X ) =      ∑m           m!
                                                e−λ =
                            m =0
                       ∞
                                λm                ∞
                                                             λm                   ∞
                                                                                          λ m−1
               = e− λ ∑ m                = e−λ ∑                        = e− λ λ ∑                 .
                     m =1           m!           m =1 ( m − 1)!                  m =1 ( m − 1)!
                            λ
Разлагая функцию e              в ряд Тейлора в окрестности нуля, полу-
чим:
                                                 ∞
                                                         λm −1
                                      eλ =      ∑ (m − 1)! .
                                                m =1
     Поэтому
                                    M ( X ) = e − λ ⋅ λ ⋅ eλ .



                                                      43