Теория вероятностей. Воскобойников Ю.Е - 43 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

НГАСУ «Сибстрин» | Новосибирск

Составители: 

Рубрика: 

45
■ D( cX) = M(cX - M(cX))
2
= M(cX - cM(X))
2
= M(c
2
(X - m)
2
)=
= c
2
M(X - m)
2
=c
2
D(X). ■
3.Если X и Y - независимые случайные величины, то
D(X + Y) = D(X) + D(Y).
■ D(X + Y) = M(X + Y)
2
- M
2
(X + Y) =
=M(X
2
+ 2 XY + Y
2
) - M
2
(X) - 2 M(X)M(Y) - M
2
(Y) =
= M(X
2
) + 2 M(XY) + M(Y
2
) - M
2
(X) - 2 M(X)M(Y) - M
2
(Y).
Так как случайные величины X и Y независимы, то M(XY) =
M(X)
⋅ M(Y). Поэтому
D(X + Y) = M(X
2
) - M
2
(X) + M(Y
2
) - M
2
(Y) = D(X) + D(Y). ■
4. Пусть X
1
, X
2
, ..., X
n
попарно независимые случайные ве-
личины. Тогда
D(X
1
+ X
2
+ ... + X
n
) = D(X
1
) + D(X
2
) + ... + D(X
n
).
■ Действительно,
D(X
1
+ X
2
+ ... + X
n
) = M(X
1
+ X
2
+ ... + X
n
- m
1
- m
2
- ... - m
n
)
2
,
где m
i
= M(X
i
). Очевидно, что
∑∑∑∑∑
=====
−−=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
n
i
n
j
jjii
n
i
ii
n
i
n
i
ii
mXmXmXmX
11
2
1
2
11
).)(()(
При
i = j имеем
M((X
i
- m
i
)(X
j
- m
j
)) = D(X
i
),
а при i ≠ j
M((X
i
- m
i
)(X
j
- m
j
)) = M(X
i
- m
i
)M(X
j
- m
j
),
т.к. случайные величины X
i
- m
i
и X
j
- m
j
в этом случае незави-
симы. Но M(X
i
- m
i
) = M(X
j
- m
j
) = 0. Значит
∑∑∑∑
====
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−−=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
n
i
i
n
i
n
j
jjii
n
i
i
XDmXmXMXD
1111
)())(( . ■ 
     ■ D( cX) = M(cX - M(cX))2 = M(cX - cM(X))2 = M(c2(X - m)2)=
               = c2 M(X - m)2 =c2D(X).    ■
     3.Если X и Y - независимые случайные величины, то
D(X + Y) = D(X) + D(Y).
        ■ D(X + Y) = M(X + Y)2 - M2(X + Y) =
      =M(X2 + 2 XY + Y2) - M2(X) - 2 M(X)M(Y) - M2(Y) =
      = M(X2) + 2 M(XY) + M(Y2) - M2(X) - 2 M(X)M(Y) - M2(Y).

       Так как случайные величины X и Y независимы, то M(XY) =
M(X) ⋅ M(Y). Поэтому
       D(X + Y) = M(X2) - M2(X) + M(Y2) - M2(Y) = D(X) + D(Y). ■

      4. Пусть  X1, X2, ..., Xn попарно независимые случайные ве-
          личины. Тогда
              D(X1 + X2 + ... + Xn) = D(X1) + D(X2) + ... + D(Xn).
        ■ Действительно,
   D(X1 + X2 + ... + Xn) = M(X1 + X2 + ... + Xn - m1 - m2 - ... - mn)2,
где mi = M(Xi). Очевидно, что
                  2                     2
 ⎛ n         n  ⎞   ⎛ n              ⎞     n n
 ⎜ ∑ X i − ∑ mi ⎟ = ⎜ ∑ ( X i − mi ) ⎟ = ∑ ∑ ( X i − mi )( X j − m j ).
 ⎜              ⎟   ⎜                ⎟
 ⎝ i =1    i =1 ⎠   ⎝ i =1           ⎠   i =1 j =1
При i = j имеем

                   M((Xi - mi)(Xj - mj)) = D(Xi),
а при i ≠ j
              M((Xi - mi)(Xj - mj)) = M(Xi - mi)M(Xj - mj),

т.к. случайные величины Xi - mi и Xj - mj в этом случае незави-
симы. Но M(Xi - mi) = M(Xj - mj) = 0. Значит
  ⎛ n     ⎞     ⎛ n n                           ⎞ n
D ⎜ ∑ X i ⎟ = M ⎜ ∑ ∑ ( X i − mi )( X j − m j ) ⎟ = ∑ D ( X i ) . ■
  ⎜       ⎟     ⎜                               ⎟
  ⎝ i =1 ⎠      ⎝ i =1 j =1                     ⎠ i =1
                                        45

Страницы