Теория вероятностей. Воскобойников Ю.Е - 44 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

НГАСУ «Сибстрин» | Новосибирск

Составители: 

Рубрика: 

46
При вычислении математического ожидания случайной ве-
личины, распределенной по биномиальному закону, мы убеди-
лись в том, что знание свойств математического ожидания позво-
ляет упростить решение поставленной задачи. Полученные свой-
ства дисперсии также позволяют упростить ее вычисление для
некоторых распределений.
Используя свойства дисперсии, определим D(
S
n
) , где S
n
-
случайная величина, распределенная по биномиальному закону.
При выводе формулы для математического ожидания M(S
n
), мы
воспользовались представлением
S
n
в виде суммы случайных
величин
S
n
(i)
, i = n,1 . Случайные величины S
n
(i)
имеют распре-
деление
Поэтому
() 2 2 2 2
()(0) (1)
i
n
DS p q p p pq qp pq=− +− = + = .
Вследствие независимости проведенных опытов, случайные
величины
S
n
(1)
, S
n
(2)
, ..., S
n
(n)
попарно независимы. Поэтому
D(
S
n
) = D(S
n
(1)
+ ... + S
n
(n)
) = D(S
n
(1)
) + ... + D(S
n
(n
)
)=npq.
Задача 2.1 .Два стрелка стреляют каждый по своей мишени,
делая независимо друг от друга по одному выстрелу. Вероятность
попадания в мишень для первого стрелка p
1
, для второго p
2
.
Рассматриваются две случайные величины:
X
1
- число попаданий первого стрелка;
X
2
- число попаданий второго стрелка
и их разность Z = X
1
- X
2
.
Построить ряд распределения случайной величины Z, найти
математическое ожидание M(Z) и дисперсию D(Z).
Задача 2.2. Случайные величины X и Y независимы и
распределены по закону Пуаcсона с параметрами λ
1
и λ
2
. Найти
закон распределения случайной величины X + Y.
S
n
(
i
)
0 1
P
q p 
      При вычислении математического ожидания случайной ве-
личины, распределенной по биномиальному закону, мы убеди-
лись в том, что знание свойств математического ожидания позво-
ляет упростить решение поставленной задачи. Полученные свой-
ства дисперсии также позволяют упростить ее вычисление для
некоторых распределений.
    Используя свойства дисперсии, определим D(Sn) , где Sn -
случайная величина, распределенная по биномиальному закону.
При выводе формулы для математического ожидания M(Sn), мы
воспользовались представлением Sn в виде суммы случайных
           (i)                                           (i)
величин Sn , i = 1,n . Случайные величины Sn                   имеют распре-
деление

                   Sn(i)                0                  1
                    P                   q                  p

    Поэтому

          D ( Sn(i ) ) = (0 − p )2 q + (1 − p ) 2 p = p 2 q + q 2 p = pq .
    Вследствие независимости проведенных опытов, случайные
             (1)  (2)      (n)
величины Sn , Sn , ..., Sn       попарно независимы. Поэтому
                  (1)        (n)                       (n
      D(Sn) = D(Sn + ... + Sn ) = D(Sn(1)) + ... + D(Sn ))=npq.

    Задача 2.1 .Два стрелка стреляют каждый по своей мишени,
делая независимо друг от друга по одному выстрелу. Вероятность
попадания в мишень для первого стрелка p1 , для второго p2 .
Рассматриваются две случайные величины:
            X1 - число попаданий первого стрелка;
            X2 - число попаданий второго стрелка
и их разность Z = X1 - X2.
    Построить ряд распределения случайной величины Z, найти
математическое ожидание M(Z) и дисперсию D(Z).
      Задача 2.2. Случайные величины X и Y независимы и
распределены по закону Пуаcсона с параметрами λ1 и λ2. Найти
закон распределения случайной величины X + Y.

                                         46

Страницы