Теория вероятностей. Воскобойников Ю.Е - 42 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

НГАСУ «Сибстрин» | Новосибирск

Составители: 

Рубрика: 

44
2.3. Дисперсия дискретной случайной величины
Степень рассеивания случайной величины характеризуется
дисперсией. Математическое ожидание и дисперсия случайной
величины - ее основные числовые характеристики.
Дисперсией случайной величины X называется число D(X),
определенное как математическое ожидание случайной величины
Y = (X - M(X))
2
, т.е.
D(X) = M(X - M(X))
2
.
Если дискретная случайная величина X имеет распределе-
ние P(X
= x
i
) = p
i
для i ∈I, то
D(X) =
∑
∈
−
Ii
ii
pmx
2
)( , (5)
где m = M(X). В том случае, когда I - бесконечное множество,
ряд (5) может расходиться. Тогда случайная величина X не име-
ет дисперсии. Величина
)( XD
x
=
σ
называется среднеквад-
ратическим отклонением случайной величины X. Заметим, что
определение
σ
x
корректно, т.к. D(X) 0≥ .
Для практического вычисления дисперсии удобно использо-
вать формулу:
D(X) = M(X
2
) - M
2
(X).
Действительно,
D(X) = M(X - m)
2
= M(X
2
- 2mX + m
2
) =
=M(X
2
) - 2mM(X) + m
2
= M(X
2
) - 2 m
2
+ m
2
= M(X
2
) - m
2
.
Используя свойства математического ожидания, выведенные
для дискретных случайных величин, можно доказать следующие
свойства дисперсии дискретной случайной величины.
1. Дисперсия постоянной равна нулю, т.е. D(C) = 0.
■ Действительно,
D(C) = M( C - M( C ))
2
= M(C - C)
2
= M (0) = 0. ■
2. Постоянную можно выносить за знак дисперсии, возводя
ее в квадрат, т.е. D( cX) = c
2
⋅
D(X). 
      2.3. Дисперсия дискретной случайной величины
     Степень рассеивания случайной величины характеризуется
дисперсией. Математическое ожидание и дисперсия случайной
величины - ее основные числовые характеристики.
     Дисперсией случайной величины X называется число D(X),
определенное как математическое ожидание случайной величины
Y = (X - M(X))2, т.е.
                      D(X) = M(X - M(X))2.
    Если дискретная случайная величина X имеет распределе-
ние P(X = xi) = pi для i ∈I, то

                  D(X) =   ∑ ( xi − m)2 pi ,                   (5)
                           i∈I
где m = M(X). В том случае, когда I - бесконечное множество,
ряд (5) может расходиться. Тогда случайная величина X не име-
ет дисперсии. Величина σ x = D ( X ) называется среднеквад-
ратическим отклонением случайной величины X. Заметим, что
определение σx корректно, т.к. D(X) ≥ 0 .
     Для практического вычисления дисперсии удобно использо-
вать формулу:
                       D(X) = M(X2) - M2(X).
    Действительно,
         D(X) = M(X - m)2 = M(X2 - 2mX + m2) =
         =M(X2) - 2mM(X) + m2 = M(X2) - 2 m2 + m2 = M(X2) - m2.
    Используя свойства математического ожидания, выведенные
для дискретных случайных величин, можно доказать следующие
свойства дисперсии дискретной случайной величины.
    1. Дисперсия постоянной равна нулю, т.е. D(C) = 0.
       ■ Действительно,
         D(C) = M( C - M( C ))2 = M(C - C)2 = M (0) = 0.   ■
     2. Постоянную можно выносить за знак дисперсии, возводя
ее в квадрат, т.е. D( cX) = c2 ⋅ D(X).


                                    44

Страницы