Теория вероятностей. Воскобойников Ю.Е - 38 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

НГАСУ «Сибстрин» | Новосибирск

Составители: 

Рубрика: 

40
1
1
(, )(),
(, )().
m
ij i
j
n
ij j
i
PX x Y y PX x
PX x Y y PY y
=
=
====
====
∑
∑
Действительно, события А
1
= {X = x
1
}, ..., А
n
= {X = x
n
} составля-
ют полную группу событий. Если обозначить В
j
= {Y = y
j
}, то
B
j
= B
j
Ω = B
j
∑∑
=
= i
ji
m
i
i
BAА
1
.
Поэтому
∑
=
=
n
i
jij
BAPBP
1
),()(
т.е.
∑
=
====
n
i
jij
yYxXPyYP
1
).,()(
Аналогично доказывается и первое равенство. Вычислим ма-
тематическое ожидание случайной величины X + Y, обозначив
ее значения через
z
p
:
{}
,
,
,,
() ( )
((,))
()(, )
(, ) (, ),
ijp
pp
p
pij
p
ijx y z
ij i j
ij
iijjij
ij ij
MX Y zPX Y z
zPXxYy
xyPXxYy
x
PX x Y y yPX x Y y
+=
+= += =
====
=+ ===
===+ ==
∑
∑∑
∑
∑∑
где три последние суммы распространяются на всевозможные
значения индексов
i, j. Порядок суммирования можно выбрать
произвольно. Следовательно, 
                   m
                   ∑ P( X = xi , Y = y j ) = P( X = xi ),
                   j =1
                    n
                   ∑ P( X = xi , Y = y j ) = P(Y = y j ).
                   i =1
Действительно, события А1 = {X = x1}, ..., Аn = {X = xn} составля-
ют полную группу событий. Если обозначить Вj = {Y = yj}, то
                                               m
             Bj = Bj          Ω      = Bj     ∑ Аi = ∑ Ai B j .
                                             i =1            i
Поэтому
                                                       n
                                  P ( B j ) = ∑ P( Ai B j ),
                                                      i =1
т.е.
                                                      n
                        P (Y = y j ) = ∑ P( X = xi ,Y = y j ).
                                                     i =1
     Аналогично доказывается и первое равенство. Вычислим ма-
тематическое ожидание случайной величины X + Y, обозначив
ее значения через zp:
          M ( X + Y ) = ∑ z p P( X + Y = z p ) =
                                      p

          = ∑ zp(                 ∑                 P( X = xi , Y = y j )) =
             p            {i , j xi + y j = z p }
          = ∑ ( xi + y j ) P( X = xi , Y = y j ) =
            i, j

          = ∑ xi P( X = xi , Y = y j ) + ∑ y j P( X = xi , Y = y j ),
            i, j                                                  i, j


где три последние суммы распространяются на всевозможные
значения индексов i, j. Порядок суммирования можно выбрать
произвольно. Следовательно,

                                                             40

Страницы