Теория вероятностей. Воскобойников Ю.Е - 47 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

НГАСУ «Сибстрин» | Новосибирск

Составители: 

Рубрика: 

49
2).
.0)(lim
=
∞−→
xF
x
■ Пусть
x
1
, x
2
, ... любая монотонно убывающая последова-
тельность действительных чисел, причем
.lim
−
∞
=
∞→
n
n
x
Рассмотрим убывающую последовательность событий A
n
:
A
n
={
ω
| X(
ω
) < x
n
}.
Так как
,
1
∏
∞
=
∅=
n
n
A
то по аксиоме непрерывности
.0)(lim =
∞→
n
n
AP
Но P(A
n
) = F(x
n
) и поэтому
.0)(lim
=
∞−→
xF
x
■
3).
.1)(lim =
∞+→
xF
x
■ Так как аксиома непрерывности верна для любой моно-
тонно убывающей последовательности событий A
n
, то переходя
к противоположным событиям B
n
=
n
A , получим эквивалент-
ную ей формулировку:
Пусть B
1
⊂ B
2
⊂ ... возрастающая последовательность собы-
тий, вероятности которых P(B
n
) определены и
∑
∞
=
Ω=
1
.
n
n
B То-
гда
.1)(lim =
∞→
n
n
BP
Воспользовавшись этой формулировкой аксиомы непрерыв-
ности, можно получить свойство 3. В качестве B
n
нужно рас-
смотреть события B
n
= {
ω
| X(
ω
) < y
n
}, где y
1
< y
2
< ... монотон-
но возрастающая неограниченная последовательность действи-
тельных чисел. ■
4) Функция распределения монотонно неубывающая, т.е. ес-
ли
x
1
< x
2
, то F(x
1
) ≤F(x
2
).
■ Наряду с событиями
1
x
A и
2
x
A рассмотрим событие 
      2).            lim F ( x ) = 0.
                 x→ − ∞
    ■ Пусть x1, x2, ... любая монотонно убывающая последова-
тельность действительных чисел, причем lim xn = −∞.
                                                 n→ ∞
      Рассмотрим убывающую последовательность событий An:
                        An={ω | X(ω) < xn}.
                  ∞
      Так как    ∏ An = ∅,       то по аксиоме непрерывности
                 n =1
 lim P( An ) = 0. Но P(An) = F(xn) и поэтому
n →∞
                                 lim F ( x ) = 0. ■
                                x→ − ∞
      3).    lim F ( x ) = 1.
            x→ + ∞
    ■ Так как аксиома непрерывности верна для любой моно-
тонно убывающей последовательности событий An, то переходя
к противоположным событиям Bn = An , получим эквивалент-
ную ей формулировку:
    Пусть B1 ⊂ B2 ⊂ ... возрастающая последовательность собы-
                                                        ∞
тий, вероятности которых P(Bn) определены и             ∑ Bn = Ω.   То-
                                                        n =1
гда    lim P( Bn ) = 1.
       n→∞
    Воспользовавшись этой формулировкой аксиомы непрерыв-
ности, можно получить свойство 3. В качестве Bn нужно рас-
смотреть события Bn = {ω | X(ω) < yn }, где y1 < y2 < ... монотон-
но возрастающая неограниченная последовательность действи-
тельных чисел. ■
    4) Функция распределения монотонно неубывающая, т.е. ес-
ли x1 < x2, то F(x1) ≤ F(x2).
    ■ Наряду с событиями Ax1 и Ax 2 рассмотрим событие


                                         49

Страницы