Теория вероятностей. Воскобойников Ю.Е - 48 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

НГАСУ «Сибстрин» | Новосибирск

Составители: 

Рубрика: 

50
А = {
ω
| x
1
≤X(
ω
) < x
2
}. События
1
x
A и
2
x
A несовместимы,
причем
2
x
A =
1
x
A + А. Поэтому
21
1
2
11
() ( ) ( )
( ) () ( ) () ( )
xx
x
Fx PA PA A
PA PA Fx PA Fx
==+=
=+=+≥
■
5). Для любых
x
1
< x
2
имеет место равенство
P(
x
1
≤
X < x
2
) = F(x
2
) - F(x
1
).
6). Функция распределения непрерывна слева, т.е. при лю-
бом
x
0
F(x
0
) = F(x
0
- 0) - предел слева в точке x
0
.
■ Доказательство этого свойства опирается на аксиому не-
прерывности и свойство 5 функции распределения. Рассмотрим
монотонно возрастающую последовательность чисел
x
1
< x
2
< ...,
имеющую предел
x
0
. Пусть
B
n
= {
ω
| x
n
≤
X(
ω
) < x
0
}.
Последовательность событий B
n
удовлетворяет аксиоме не-
прерывности. Но P(B
n
) = P(x
n
≤
X < x
0
) = F(x
0
) - F(x
n
). Перехо-
дя к пределу при n→∞, получим:
.0)(lim))()((lim
0
=
=
−
∞→∞→
n
n
n
n
BPxFxF
Поэтому
).()(lim
0
0
0
xFxF
xx
=
−→
■
7).
P(X = x
0
) = F(x
0
+ 0) - F(x
0
), т.е. вероятность значения x
0
равна скачку функции распределения в точке x
0
.
■ Рассмотрим монотонно убывающую последовательность
Δ
x
n
, стремящуюся к нулю справа. Тогда
}.{lim}{
000 n
x
xxXxxX
n
Δ
+
<
≤
=
=
∞→Δ
Поэтому
000
0
()lim{ }
n
n
x
PX x P x X x x
Δ→+
⎛⎞
== ≤<+Δ =
⎜⎟
⎝⎠
А = {ω | x1 ≤ X(ω) < x2}. События Ax1 и Ax 2 несовместимы,
причем Ax = Ax + А. Поэтому
           2      1


       F ( x2 ) = P( Ax2 ) = P( Ax1 + A) =
                                                                  ■
               = P( Ax1 ) + P( A) = F ( x1 ) + P( A) ≥ F ( x1 )

    5). Для любых x1 < x2 имеет место равенство
                      P(x1   ≤ X < x2) = F(x2) - F(x1).
     6). Функция распределения непрерывна слева, т.е. при лю-
бом x0 F(x0 ) = F(x0 - 0) - предел слева в точке x0 .
     ■ Доказательство этого свойства опирается на аксиому не-
прерывности и свойство 5 функции распределения. Рассмотрим
монотонно возрастающую последовательность чисел x1 < x2 < ...,
имеющую предел x0 . Пусть
                       Bn = {ω | xn ≤ X(ω) < x0}.
     Последовательность событий Bn удовлетворяет аксиоме не-
прерывности. Но P(Bn) = P(xn ≤ X < x0) = F(x0) - F(xn). Перехо-
дя к пределу при n→∞, получим:
                lim ( F ( x0 ) − F ( xn )) = lim P( Bn ) = 0.
               n→∞                              n→∞

    Поэтому                  lim      F ( x ) = F ( x0 ). ■
                         x → x0 − 0
    7). P(X = x0) = F(x0 + 0) - F(x0), т.е. вероятность значения x0
равна скачку функции распределения в точке x0.
    ■ Рассмотрим монотонно убывающую последовательность
Δ xn, стремящуюся к нулю справа. Тогда
               { X = x0 } =        lim {x0 ≤ X < x0 + Δxn }.
                              Δx n → ∞
Поэтому

          P( X = x0 ) = P ⎛⎜ lim {x0 ≤ X < x0 + Δxn }⎞⎟ =
                           ⎝ Δxn →+0                  ⎠


                                           50

Страницы