Теория вероятностей. Воскобойников Ю.Е - 50 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

НГАСУ «Сибстрин» | Новосибирск

Составители: 

Рубрика: 

52
1) p(x)
≥
0;
2) для любых a < b
∫
=<≤
b
a
dxxpbXaP )()(
.
■ По свойству 5 функции распределения
( ) () () () ()
() .
ba
b
a
Pa X b Fb Fa pxdx pxdx
pxdx
−∞ −∞
≤<= − = − =
=
∫∫
∫
■
3)
.1)(
∫
+∞
∞−
=dxxp
■ Согласно определению плотности распределения, данный
интеграл существует. Поэтому
∫∫
+∞
∞−
+∞→
∞−
+∞→
=== .1)(lim)(lim)( AFdxxpdxxp
A
A
A
■
Для непрерывной случайной величины функция распределе-
ния F(x) непрерывна в любой точке x. Для ограниченных функ-
ций p(x) это следует из теоремы о среднем, т.к.
,)()()( xMdyypxFxxF
xx
x
Δ⋅≤=−Δ+
∫
Δ+
где
Myp ≤)( при любом
[
]
., xxxy
Δ
+
∈
Для неограниченных функций p(x) непрерывность функции
распределения следует из определения несобственного интегра-
ла.
Заметим, что не все случайные величины делятся на дис-
кретные и непрерывные. Рассмотрим случайную величину X, оп-
                 1) p(x) ≥    0;
                                                                      b
                 2) для любых         a < b P ( a ≤ X < b) =          ∫ p( x )dx .
                                                                      a
     ■ По свойству 5 функции распределения
                                               b                a
      P ( a ≤ X < b) = F ( b) − F ( a ) =      ∫   p( x )dx −   ∫    p( x )dx =
                                            −∞                  −∞
                                                                                  ■
                        b
                      = ∫ p( x )dx.
                        a


                      +∞
                 3)    ∫ p( x )dx = 1.
                      −∞
     ■ Согласно определению плотности распределения, данный
интеграл существует. Поэтому
          +∞                          A
           ∫   p ( x )dx = lim
                            A→ +∞
                                    ∫ p( x )dx = A→
                                                  lim F ( A) = 1. ■
                                                    +∞
          −∞                        −∞
    Для непрерывной случайной величины функция распределе-
ния F(x) непрерывна в любой точке x. Для ограниченных функ-
ций p(x) это следует из теоремы о среднем, т.к.
                                          x + Δx
               F ( x + Δx ) − F ( x ) =     ∫ p( y )dy ≤ M ⋅ Δx,
                                            x

где p( y ) ≤ M при любом y ∈ [x, x + Δx ].
    Для неограниченных функций p(x) непрерывность функции
распределения следует из определения несобственного интегра-
ла.
    Заметим, что не все случайные величины делятся на дис-
кретные и непрерывные. Рассмотрим случайную величину X, оп-

                                          52

Страницы