Теория вероятностей. Воскобойников Ю.Е - 52 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

НГАСУ «Сибстрин» | Новосибирск

Составители: 

Рубрика: 

54
вероятностей непрерывной случайной величины X. Для этого
вычислим вероятность попадания случайной величины на отре-
зок [x, x + Δx], предполагая функцию p(x) непрерывной на этом
отрезке.
Тогда
.)()(
∫
Δ+
=Δ+≤≤
xx
x
dttpxxXxP
По теореме о среднем значении
),()( xxpxdttp
xx
x
Δ+⋅Δ=
∫
Δ+
θ
где
10 ≤≤
θ
. Найдем плотность вероятности как отношение
)( xxXxp Δ+≤≤ к длине промежутка Δx и вычислим ее предел
при Δx → 0. Получим
).(
)(
lim
)(
lim
00
xp
x
xxp
x
xxXxp
xx
=
Δ
Δ
+
=
Δ
Δ
+
≤
≤
→Δ→Δ
θ
Следовательно, p(x) - есть предел отношения вероятности
попадания случайной точки на отрезок [x, x + Δx] к длине этого
отрезка, когда Δx стремится к нулю.
Случайная величина называется равномерно распределен-
ной на интервале (a, b), если ее плотность распределения имеет
вид:
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
∉
∈
−
=
).,(,0
);,(,
1
)(
bax
bax
ab
xp
(7)
Характерным свойством этого распределения является то,
что для любого интервала (a
1
, b
1
), целиком лежащего на интер-
вале (a, b), вероятность p(a
1
< X < b
1
) зависит только от длины b
1
- a
1
и не зависит от положения интервала (a
1
, b
1
). Действительно, 
вероятностей непрерывной случайной величины X. Для этого
вычислим вероятность попадания случайной величины на отре-
зок [x, x + Δx], предполагая функцию p(x) непрерывной на этом
отрезке.
    Тогда
                                        x + Δx
               P ( x ≤ X ≤ x + Δx ) =       ∫ p(t )dt.
                                            x
    По теореме о среднем значении
                      x + Δx
                        ∫ p(t )dt = Δx ⋅ p( x + θΔx ),
                        x

    где 0 ≤ θ ≤ 1 . Найдем плотность вероятности как отношение
p( x ≤ X ≤ x + Δx ) к длине промежутка Δx и вычислим ее предел
при Δx → 0. Получим
               p ( x ≤ X ≤ x + Δx )         p ( x + θΔx )
         lim                        = lim                 = p ( x ).
        Δx → 0          Δx           Δx → 0       Δx
     Следовательно, p(x) - есть предел отношения вероятности
попадания случайной точки на отрезок [x, x + Δx] к длине этого
отрезка, когда Δx стремится к нулю.
     Случайная величина называется равномерно распределен-
ной на интервале (a, b), если ее плотность распределения имеет
вид:
                             ⎧⎪ 1
                                     , x ∈ ( a,b);
                    p( x ) = ⎨ b − a                              (7)
                              ⎪⎩ 0,    x ∉ ( a,b).
       Характерным свойством этого распределения является то,
что для любого интервала (a1, b1), целиком лежащего на интер-
вале (a, b), вероятность p(a1 < X < b1) зависит только от длины b1
- a1 и не зависит от положения интервала (a1, b1). Действительно,


                                       54

Страницы