Теория вероятностей. Воскобойников Ю.Е - 55 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

НГАСУ «Сибстрин» | Новосибирск

Составители: 

Рубрика: 

57
т.е. математическое ожидание равно середине отрезка [a, b].
При рассмотрении математического ожидания дискретной
случайной величины, мы определили функцию Y = f(X
1
, X
2
, ...,X
n
)
от случайных величин
X
1
, X
2
, ...,X
n
. Пусть случайная величина Y
- есть функция от случайной величины X, т.е. Y = f(X). Согласно
определению
∫
+∞
∞−
= dyyyPYM
Y
)()( ,
где P
Y
(y) - плотность распределения случайной величины Y. Ока-
зывается, что M(Y) можно вычислить также по другой формуле,
используя плотность распределения случайной величины. А
именно:
∫
+∞
∞−
== ,)()())(()( dxxPxfXfMYM
X
где P
X
(x) - плотность распределения случайной величины X.
Мы не будем доказывать, то, что обе формулы для опреде-
ления M(Y) дают один результат в общем случае. Проверим это
лишь на одном примере, когда f(X)=X
3
. Так как события
{
}
3
X
x< и {X <
3
x } эквивалентны для любого действительно-
го числа x, то
).()()()()(
33
3
xFxXPxXPxYPxF
X
Y
=<=<=<=
Здесь F
Y
(x) и F
X
(x) - функции распределения случайных вели-
чин Y и X соответственно. Вычисляя производные, получим
).(
3
1
)(
)(
)(
3
3
2
3
xP
x
dx
xdF
xP
dx
xdF
X
X
Y
Y
===
Поэтому
∫∫
+∞
∞−
+∞
∞−
== .)(
3
1
)()(
3
3
2
dxxP
x
xdxxxPYM
XY
т.е. математическое ожидание равно середине отрезка [a, b].
       При рассмотрении математического ожидания дискретной
случайной величины, мы определили функцию Y = f(X1, X2, ...,Xn)
от случайных величин X1, X2, ...,Xn. Пусть случайная величина Y
- есть функция от случайной величины X, т.е. Y = f(X). Согласно
определению
                                            +∞
                                M (Y ) =    ∫ yPY ( y )dy ,
                                            −∞
где PY(y) - плотность распределения случайной величины Y. Ока-
зывается, что M(Y) можно вычислить также по другой формуле,
используя плотность распределения случайной величины. А
именно:
                                                     +∞
                       M (Y ) = M ( f ( X )) =       ∫ f ( x ) PX ( x )dx,
                                                     −∞
где PX(x) - плотность распределения случайной величины X.
      Мы не будем доказывать, то, что обе формулы для опреде-
ления M(Y) дают один результат в общем случае. Проверим это
лишь на одном примере, когда f(X)=X3. Так как события
{X   3
           }
         < x и {X < 3 x } эквивалентны для любого действительно-
го числа x, то

     FY ( x ) = P(Y < x ) = P( X 3 < x ) = P( X < 3 x ) = FX (3 x ).

Здесь FY(x) и FX(x) - функции распределения случайных вели-
чин Y и X соответственно. Вычисляя производные, получим
            dFY ( x )             dF (3 x )      1
                      = PY ( x ) = X        =        PX (3 x ).
              dx                    dx         3
                                              3 x  2
Поэтому
                       +∞                   +∞
                                                         1
            M (Y ) =    ∫   xPY ( x )dx =   ∫    x
                                                     3       2
                                                                 PX (3 x )dx.
                       −∞                   −∞       3 x

                                                57

Страницы