Теория вероятностей. Воскобойников Ю.Е - 56 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

НГАСУ «Сибстрин» | Новосибирск

Составители: 

Рубрика: 

58
Сделаем замену переменной
x = y
3
. Тогда
∫∫ ∫
+∞
∞−
+∞
∞−
+∞
∞−
== .)(3)(
3
1
)(
3
1
32
3
3
33
dyyPydyyyPydxxPx
XXX
Дисперсию непрерывной случайной величины X опреде-
лим той же формулой, что и дисперсию дискретной случайной
величины, т.е.
2
))(()( XMXMXD −= .
Дисперсия непрерывной случайной величины обладает те-
ми же свойствами, что и дисперсия дискретной случайной вели-
чины.
Вычислим дисперсию случайной величины, равномерно
распределенной на отрезке [a, b]. Для ее вычисления используем
формулу
),()()(
22
XMXMXD −=
которую в случае непрерывных случайных величин можно рас-
писать
.)()()(
2
2
∫∫
∞+
∞−
∞+
∞−
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−= dxxxpdxxpxXD
Для равномерно распределенной случайной величины по-
лучим:
∫
++
=
−
=
b
a
baba
dx
ab
xXM .
3
1
)(
22
22
Поэтому
.
12
)(
23
)(
2
2
2
babababa
XD
−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−
++
=
                                         3
Сделаем замену переменной x = y . Тогда
 +∞                        +∞                               +∞
      13                        13 3
  ∫      x PX (3 x )dx =    ∫     y PX ( y )3 y 2 dy =      ∫y
                                                                 3
                                                                     PX ( y )dy.
      3                         3
 −∞                        −∞                            −∞
     Дисперсию непрерывной случайной величины X опреде-
лим той же формулой, что и дисперсию дискретной случайной
величины, т.е.

                           D ( X ) = M ( X − M ( X )) 2 .

      Дисперсия непрерывной случайной величины обладает те-
ми же свойствами, что и дисперсия дискретной случайной вели-
чины.
      Вычислим дисперсию случайной величины, равномерно
распределенной на отрезке [a, b]. Для ее вычисления используем
формулу

                       D ( X ) = M ( X 2 ) − M 2 ( X ),
которую в случае непрерывных случайных величин можно рас-
писать

                       +∞                                   2
                                       ⎡+ ∞           ⎤
                                2
              D ( X ) = ∫ x p( x )dx − ⎢ ∫ xp ( x )dx ⎥ .
                       −∞              ⎢⎣ − ∞         ⎥⎦

     Для равномерно распределенной случайной величины по-
лучим:
                                b
                                     1       a 2 + ab + b 2
                 M ( X ) = ∫ x2
                       2
                                        dx =                .
                                    b−a            3
                                a
Поэтому
                                                    2
                       a 2 + ab + b ⎛ a + b ⎞   ( a − b) 2
              D( X ) =              −⎜      ⎟ =            .
                             3       ⎝ 2 ⎠          12

                                         58

Страницы