Теория вероятностей. Воскобойников Ю.Е - 57 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

НГАСУ «Сибстрин» | Новосибирск

Составители: 

Рубрика: 

59
* Пример 3.2. Случайная величина X распределена рав-
номерно на отрезке [0, 1]. Найти плотность распределения,
математическое ожидание и дисперсии случайной величины
).1,max( XXY −=
•
• Вычислим в начале функцию распределения случайной ве-
личины Y
).)1,(max()()( xXXPxYPxF
Y
<
−
=
<
=
Понятно, что
)1,max( XX
−
примет значение меньшее
чем x тогда и только тогда, когда X < x и 1 - X < x. Объединяя
эти неравенства, получим 1 - x < X < x.
Если левая граница 1 - x не меньше, чем правая, то
.0)1( =<
<
− xXxP Это случится при 5,0
≤
x .
Если x > 1, то
)1( xXxP
<
<
−
будет равна 1, т.к. все зна-
чения случайной величины X принадлежат отрезку [0, 1]. Рас-
смотрим последний случай, когда
.15,0
≤
≤
x Получим:
∫
∞
−
−==<<−
x
xdxxXxP
1
.121)1(
Итак, мы получили:
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
>
≤≤−
<
=
.1,1
;15,0,12
;5,0,0
)(
xесли
xеслиx
xесли
xF
Y
Дифференцируя, найдем плотность распределения случайной ве-
личины
⎩
⎨
⎧
≤≤
=
.,0
;15,0,2
)(
случаяхостальныхв
xесли
xP
Y
Так как случайная величина Y распределена равномерно на от-
резке [0,5; 1], то 
    * Пример 3.2. Случайная величина X распределена рав-
номерно на отрезке [0, 1]. Найти плотность распределения,
математическое ожидание и дисперсии случайной величины
Y = max( X , 1 − X ). •
    • Вычислим в начале функцию распределения случайной ве-
личины Y
             FY ( x ) = P(Y < x ) = P(max( X , 1 − X ) < x ).
     Понятно, что max( X , 1 − X ) примет значение меньшее
чем x тогда и только тогда, когда X < x и 1 - X < x. Объединяя
эти неравенства, получим 1 - x < X < x.
     Если левая граница 1 - x не меньше, чем правая, то
P (1 − x < X < x ) = 0. Это случится при x ≤ 0,5 .
     Если x > 1, то P (1 − x < X < x ) будет равна 1, т.к. все зна-
чения случайной величины X принадлежат отрезку [0, 1]. Рас-
смотрим последний случай, когда 0,5 ≤ x ≤ 1. Получим:

                                       ∞
                P(1 − x < X < x ) =    ∫ 1 dx = 2 x − 1.
                                      1− x
Итак, мы получили:

                                 ⎧     0, если x < 0,5;
                                 ⎪
                      FY ( x ) = ⎨2 x − 1, если 0,5 ≤ x ≤ 1;
                                 ⎪      1, если x > 1.
                                 ⎩

Дифференцируя, найдем плотность распределения случайной ве-
личины
                             ⎧ 2, если 0,5 ≤ x ≤ 1;
                  PY ( x ) = ⎨
                             ⎩0, в остальных случаях.
Так как случайная величина Y распределена равномерно на от-
резке [0,5; 1], то

                                     59

Страницы