Теория вероятностей. Воскобойников Ю.Е - 60 стр.

     Теорема. Математическое ожидание случайной величины
N, распределенной по нормальному закону с параметрами a и σ
равно a, а дисперсия σ2.

                           +∞                         +∞                   ( x −a)2
                                                                    1     −      2
         ■ M (N ) =            ∫   xp ( x )dx =        ∫       x
                                                                    2π
                                                                         e 2σ dx.
                           −∞                         −∞
                          x−a
Сделаем замену переменных     = t. Получим
                           2σ
                          +∞
                                                            1        2
          M (N ) =        ∫(       2 σ t + a) ⋅
                                                           2π σ
                                                                e − t 2 σ dt =
                          −∞
                                       +∞                           +∞
                               2                  2            a         −t2
                      =
                               π
                                   σ   ∫    te − t dt +
                                                                π   ∫e         dt.
                                       −∞                           −∞
Вычислим первый интеграл
                +∞
                                1
                   te − t dt = − ⎛⎜ lim e − t − lim e − t                                ⎞ = 0.
                         2                   2            2

                ∫               2 ⎝ t → +∞     t → −∞
                                                                                         ⎟
                                                                                         ⎠
                −∞
Теперь найдем второй интеграл
                                            +∞         2

                                             ∫    e − t dt = π .
                                            −∞
Поэтому M ( X ) = a. Мы должны дополнительно убедиться в
                                                           +∞
том, что несобственный интеграл                            ∫ xp( x )dx         сходится абсолют-
                                                           −∞
но. Но
           +∞                                +∞
                                       1                                  2

           ∫    x p( x )dx =
                                        π     ∫       2 σ t + a e − t dt =
           −∞                                −∞
                0                                          +∞
                                                  2                                  2
           =    ∫   −( 2 σ t + a )e − t dt +               ∫(       2 σ t + a )e − t dt ,
               −∞                                          0

                                                           62