Теория вероятностей. Воскобойников Ю.Е - 62 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

НГАСУ «Сибстрин» | Новосибирск

Составители: 

Рубрика: 

64
2
22
222
2
1
() 2
1
22
t
tt
MN te dt
a
ate dt e dt
σ
π
σ
ππ
+∞
−
−∞
+∞ +∞
−−
−∞ −∞
=+
++=
∫
∫∫
.0
1
2
2
22
22
a
a
+=+⋅+=
σπ
ππ
π
π
σ
Так как
),()()(
22
NMNMND −= то
2
)(
σ
=ND . ■
Случайные величины N(a,
σ
) играют важнейшую роль в
теории вероятностей и ее приложениях. Поэтому часто возникает
задача определения вероятности попадания N(a,
σ
) на интервал
с заданными границами. Эту вероятность можно выразить с по-
мощью интегральной функции Лапласа
∫
−
=Φ
x
t
dtex
0
2
.
2
1
)(
2
π
Отметим следующие свойства этой функции.
1. Интегральная функция Лапласа нечетна, т.е.
).()( xx Φ−=−
Φ
■ Так как подынтегральная функция
2
2
t
e
−
четная, то
∫∫
−
−−
=
x
x
tt
dtedte
0
0
22
.
22
Но
∫∫
−
−
−−
−=
0
0
22
.
22
x
x
tt
dtedte Следова-
тельно,
∫∫
−
−−
−Φ−=−==Φ
xx
tt
xdtedtex
00
22
).(
2
1
2
1
)(
22
ππ
■
2.
.5,0)(lim =Φ
+∞→
x
x
                                   +∞
                           1                 2 2 −t2
            M (N 2) =
                            π      ∫ 2σ      t e       dt +
                                   −∞
                                   +∞                                      +∞
                            1                              2       a2               2
                       +
                               π   ∫    2 2 σ ate − t dt +
                                                                       π   ∫    e − t dt =
                                   −∞                                      −∞

                           2σ 2 π   1      a2
                      =           +   ⋅0 +                         π = σ 2 + a2.
                             π 2    π       π
Так как D ( N ) = M ( N 2 ) − M 2 ( N ), то D ( N ) = σ 2 . ■

      Случайные величины N(a, σ) играют важнейшую роль в
теории вероятностей и ее приложениях. Поэтому часто возникает
задача определения вероятности попадания N(a, σ) на интервал
с заданными границами. Эту вероятность можно выразить с по-
                                                                                              2
                                                                                         x −t
                                             1
мощью интегральной функции Лапласа Φ ( x ) =
                                             2π                                          ∫e 2 dt.
                                                                                         0
Отметим следующие свойства этой функции.
   1.   Интегральная   функция     Лапласа                                      нечетна,          т.е.
          Φ ( − x ) = − Φ ( x ).
                                                                               t2
                                                                           −
    ■ Так как подынтегральная функция                                  e        2       четная, то
      2               2                           2                    2
x −t          0 −t       0 −t       −x −t
∫e 2           ∫                        ∫
          dt = e 2 dt. Но e 2 dt = − e 2 dt. Следова-          ∫
0             −x                        −x                     0
тельно,
                                    2                              2
                           x −t                            −x −t
                     1                                1
          Φ( x) =
                     2π    ∫e 2 dt           =−
                                                      2π   ∫ e 2 dt        = −Φ ( − x ). ■
                           0                               0
      2. lim Φ ( x ) = 0,5.
          x → +∞


                                                      64

Страницы