Теория вероятностей. Воскобойников Ю.Е - 61 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

НГАСУ «Сибстрин» | Новосибирск

Составители: 

Рубрика: 

63
а оба последних интеграла, как было замечено ранее, сходятся.
Вычислим M(N
2
):
∫∫
∞+
∞−
∞+
∞−
−
−
== .
2
1
)()(
2
2
2
)(
222
dxexdxxpxNM
ax
σ
σπ
Произведя замену
tax =−
σ
2/)( получим:
∫
+∞
∞−
−
+= .2)2(
2
1
)(
2
22
dteatNM
t
σσ
σπ
Разобьем этот интеграл на три и вычислим первый:
∫∫
+∞
∞−
+∞
∞−
−−
−= ).(
2
1
22
2 tt
etddtet
Применим формулу интегрирования по частям:
∫∫
∞+
∞−
∞+
∞−
−∞+
∞−
−−
−= ;)(
222
dteteetd
ttt
.limlimlimlim
22
222
t
t
t
t
t
t
t
t
t
e
t
e
t
tetete
−∞→+∞→
−
−∞→
−
+∞→
∞+
∞−
−
−=−=
По правилу Лопиталя раскроем неопределенность вида
∞
∞
. По-
лучим:
.0
2
1
lim
)(
limlim
22
2
==
′
′
=
±∞→±∞→±∞→
t
t
t
t
t
t
tee
t
e
t
Поэтому
∫
+∞
∞−
−
= .
2
2
2
π
dtet
t
Остальные интегралы были найдены ранее. Поэтому 
а оба последних интеграла, как было замечено ранее, сходятся.
Вычислим M(N2):
                              +∞                            +∞                                   ( x −a)2
                                                                             1               −
          M (N 2 ) =          ∫    x 2 p( x )dx =            ∫    x2             e                2σ 2 dx.
                              −∞                            −∞
                                                                            2π σ

Произведя замену ( x − a ) / 2σ = t получим:
                                             +∞
                                     1                                               2
            M (N ) =  2
                                              ∫       ( 2σ t + a ) 2 e − t σ 2 dt.
                                    2π σ
                                             −∞
Разобьем этот интеграл на три и вычислим первый:
                      +∞                                    +∞
                              2 −t 2             1                           2

                          ∫   t e         dt = −             ∫    td ( e − t ).
                                                 2
                      −∞                                    −∞
Применим формулу интегрирования по частям:
               +∞                                                  +∞
                                  −t 2             2                             2

                  ∫   td ( e             ) = te − t +− ∞
                                                       ∞
                                                         −            ∫    e − t dt;
               −∞                                                  −∞
       2                 2            2                                              t                      t
 te − t +− ∞
           ∞
             = lim te − t − lim te − t = lim                                             2
                                                                                              − lim             2
                                                                                                                    .
             t → +∞                       t → −∞                      t → +∞ e t                  t → −∞ e t
                                                                                                      ∞
По правилу Лопиталя раскроем неопределенность вида                                                      . По-
                                                                                                      ∞
лучим:
                          t                    t′                             1
            lim               = lim                         = lim                            = 0.
           t → ±∞ t 2
                                                  2                                  2
                                   t → ±∞ ( e t        )′        t → ±∞ 2te t
                      e
Поэтому
                                   +∞             2               π
                                    ∫    t 2 e − t dt =                .
                                                                  2
                                   −∞

Остальные интегралы были найдены ранее. Поэтому

                                                            63

Страницы