Теория вероятностей. Воскобойников Ю.Е - 63 стр.

                           x2
                    1 −2
    ■ Так как          e - плотность распределения случайной
                    2π
                                        2
                                +∞ − t
                           1
                           2π −∫∞
величины N(0, 1), то              e 2       dt = 1. Поэтому

             2
     +∞ − t
  1
  2π ∫0
       e 2       dt = 0,5. ■

    Вычислим, используя интегральную функцию Лапласа, ве-
роятность P ( x1 < N ( a ,σ ) < x2 ) .
    По известной формуле
                                                                          2
                                   x2                            x2 − ( x − a)
                                          1                                  2
                                   ∫ p( x ) =                      e 2σ dx.
                                         2π σ x∫
      P( x1 < N ( a,σ ) < x2 ) =
                           x1                   1
Сделаем замену переменных ( x − a ) / σ = t . Получим
                                             x2 − a
                                                σ           t2
                                   1                      − 2
      P( x1 < N ( a, σ ) < x2 ) =
                                  2π σ          ∫
                                             x1 − a
                                                      e          dt =

                                                σ

                                   ⎛ x −a⎞   ⎛ x1 − a ⎞
                                = Φ⎜ 2   ⎟ −Φ⎜        ⎟.
                                   ⎝ σ ⎠     ⎝ σ ⎠

Тем самым доказана формула
                                     ⎛ x −a⎞    ⎛ x −a⎞
       P ( x1 < N ( a,σ ) < x2 ) = Φ ⎜ 2   ⎟ − Φ⎜ 1   ⎟.                      (10)
                                     ⎝ σ ⎠      ⎝ σ ⎠
    * Пример 3.3. Сколько значений случайной величины
N (25, 3) нужно взять, чтобы с вероятностью 0,99 хотя бы одно
из них попало на интервал (20, 28). •
    • Пусть n - искомое наименьшее число и P - вероятность
попадания одного значения случайной величины N (25, 3) на
указанный интервал. По формуле (10)
                                        65