Теория вероятностей. Воскобойников Ю.Е - 64 стр.

                                ⎛ 28 − 25 ⎞    ⎛ 20 − 25 ⎞
    P( 20 < N ( 25,3) < 28) = Φ ⎜         ⎟ − Φ⎜         ⎟ = 0,7938.
                                ⎝ 3 ⎠          ⎝ 3 ⎠
Обозначим через А событие {хотя бы одно из n значений слу-
чайной величины N (25, 3) попало на интервал (20, 28)}. Тогда
A = A1 A 2 K A n ,    где   Ai   = { i-е значение случайной величи-
ны N не попало на указанный интервал}, P( Ai ) = 1 - 0,7938 =
0,2062, i = 1, 2, ..., n. По условию P(A) ≥ 0,99. Значит
P( A ) ≤ 0,01. Но P( A ) = 0,2062n.
    Решим неравенство       0,2062n   ≤    0,01      относительно   n.
                                                          2
Получим n ⋅ lq(0,2062) < - 2. Значит         n>−                . Наи-
                                                     lq(0,2062)
меньшее целое число, удовлетворяющее этому условию
n = 3. ♦
     Используя формулу (10), выведем правило 2- и 3-х сигм. Со-
гласно правилу 2-х сигм случайная величина N(a,σ) попадет в
интервал (a - 2σ, a + 2σ) с вероятностью P = 0,9514, т.е. прак-
тически близкой к единице.
     Действительно,
              P( a − 2σ < N ( a < σ ) < a + 2σ ) =
                  ⎛ a + 2σ − a ⎞     ⎛ a − 2σ − a ⎞
              = Φ⎜              ⎟−Φ⎜              ⎟=
                  ⎝     σ       ⎠    ⎝      σ     ⎠
              = Φ (2) − Φ ( −2) = 2 Φ (2) = 0,9514.
Аналогично
             P( a − 3σ < N ( a,σ ) < a + 3σ ) = 0,9973.
Так как вероятность 0,9973 близка к единице, то практически
всегда наугад выбранное значение случайной величины N(a,σ)
лежит в интервале (a - 3σ, a + 3σ).
    Задача 3.6. Плотность распределения случайной величины
                               2
X имеет вид p ( x ) = c10 − 2 x − x , где c - некоторая постоян-
ная. Найти вероятность того, что X примет значение, большее


                                      66