Теория вероятностей. Воскобойников Ю.Е - 66 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

НГАСУ «Сибстрин» | Новосибирск

Составители: 

Рубрика: 

68
ления случайной величины X. Т.к.
,
2
1
)(
2
2
2
)(
σ
σπ
ax
exg
−
−
= то
.
2
1
2
1
)()(
22
22
xx
eexagxP
−−
==+=
πσπ
σσσ
♦
Пусть X
1
, X
2
, ... бесконечная последовательность случайных
величин, для которых
.)(,)(
2
nnnn
XDaXM
σ
==
Говорят, что эта последовательность асимптотически нор-
мальна с параметрами
(a
n
,
σ
n
), если последовательность F
n
(x)
функций распределения случайных величин
nnn
aX
σ
/)(
−
при
∞→n стремится к функции распределения случайной величины
N(0, 1), т.е. к функции
∫
∞−
−
x
t
dte .
2
1
2
2
π
Во второй главе мы ввели понятие независимости для дис-
кретных случайных величин. Определим это понятие для непре-
рывных случайных величин. Случайные величины
X
1
, X
2
, ..., X
n
независимыми, если для любых действительных чисел
x
1
, x
2
, ...,
x
n
выполнено равенство
112 2
11 2 2
(, ,, )
()( )( ).
nn
nn
PX x X x X x
PX x PX x PX x
<< <=
=< < <
K
K
Для бесконечной последовательности
X
1
, X
2
, ... независи-
мых случайных величин составим последовательность
S
1
, S
2
, ...
из частичных сумм
.
21 nn
XXXS
+
+
+
=
K Центральная пре-
дельная теорема утверждает, что при довольно общих ограни-
чениях на числовые характеристики случайных величин
X
n
, по-
следовательность
S
1
, S
2
, ... асимптотически нормальна.
В частности, если случайные величины X
1
, X
2
, ... независи-
мы, одинаково распределены и имеют конечную дисперсию, то
последовательность
nn
XXXS
+
+
+
=
K
21
асимптотически 
                                                             ( x −a)2
                                                  1    −  2
ления случайной величины X. Т.к. g ( x ) =            e 2σ , то
                                                 2π σ
                                               x2              x2
                                       1     −          1     −
        P( x ) = σ g (a + σ x ) = σ          e 2 =           e 2. ♦
                                      2π σ              2π
    Пусть X1, X2, ... бесконечная последовательность случайных
величин, для которых M ( X n ) = a n , D ( X n ) = σ n2 .
    Говорят, что эта последовательность асимптотически нор-
мальна с параметрами (an, σn), если последовательность Fn(x)
функций распределения случайных величин ( X n − an ) / σ n при
n → ∞ стремится к функции распределения случайной величины
                                 x    t2
                            1      −
N(0, 1), т.е. к функции         ∫
                            2π − ∞
                                  e 2 dt.

    Во второй главе мы ввели понятие независимости для дис-
кретных случайных величин. Определим это понятие для непре-
рывных случайных величин. Случайные величины X1, X2, ..., Xn
независимыми, если для любых действительных чисел x1, x2, ...,
xn выполнено равенство
              P( X 1 < x1, X 2 < x2 , K, X n < xn ) =
             = P( X 1 < x1 ) P( X 2 < x2 ) K P( X n < xn ).
    Для бесконечной последовательности X1, X2, ... независи-
мых случайных величин составим последовательность S1, S2, ...
из частичных сумм S n = X 1 + X 2 +K + X n . Центральная пре-
дельная теорема утверждает, что при довольно общих ограни-
чениях на числовые характеристики случайных величин Xn, по-
следовательность S1, S2, ... асимптотически нормальна.
    В частности, если случайные величины X1, X2, ... независи-
мы, одинаково распределены и имеют конечную дисперсию, то
последовательность S n = X 1 + X 2 +K + X n асимптотически

                                      68

Страницы