Теория вероятностей. Воскобойников Ю.Е - 67 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

НГАСУ «Сибстрин» | Новосибирск

Составители: 

Рубрика: 

69
нормальна.
Рассмотрим последовательность независимых испытаний, в
каждом из которых событие А появляется с одинаковой вероят-
ностью p, 0 < p < 1. Обозначим через
S
n
- количество появле-
ний события А в n независимых опытах. Как было отмечено ра-
нее, случайную величину
S
n
, распределенную по биномиальному
закону с параметрами
M(S
n
)=np, D(S
n
)=npq, можно представить
в виде суммы
)()2()1(
...
n
nnnn
SSSS +++= независимых одинако-
во распределенных случайных величин
)(i
n
S . Поэтому последо-
вательность
S
n
асимптотически нормальна. Это означает, что
.
2
1
2
2
∫
∞−
−
→
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
<
−
x
t
n
dtex
npq
npS
P
π
(11)
Следовательно, для любых действительных чисел a, b и любого
p, 0 < p < 1
∫
−
∞→
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
<
−
≤
b
a
t
n
n
dteb
npq
npS
aP .
2
1
lim
2
2
π
Если заметить, что
,0lim =
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
−
∞→
b
npq
npS
P
n
n
то тем самым доказана интегральная теорема Муавра-Лапласа.
Теорема. Если вероятность появления события А в каждом
испытании равна p, 0 < p < 1 и постоянна, то при n→∞ и любых
a, b
∫
−
→
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
≤
−
≤
b
a
t
n
dteb
npq
npS
aP .
2
1
2
2
π
На основании этой теоремы для вычисления вероятности со-
бытия 
нормальна.
     Рассмотрим последовательность независимых испытаний, в
каждом из которых событие А появляется с одинаковой вероят-
ностью p, 0 < p < 1. Обозначим через Sn - количество появле-
ний события А в n независимых опытах. Как было отмечено ра-
нее, случайную величину Sn, распределенную по биномиальному
закону с параметрами M(Sn)=np, D(Sn)=npq, можно представить
в виде суммы S n = S n(1) + S n( 2) + ... + S n( n ) независимых одинако-
во распределенных случайных величин S n(i ) . Поэтому последо-
вательность Sn асимптотически нормальна. Это означает, что
                                                 2
                                            x −t
                 ⎛ S − np      ⎞   1
                                   2π ∫
               P⎜⎜ n      < x ⎟⎟ →           e 2 dt.               (11)
                 ⎝ npq         ⎠     −∞
Следовательно, для любых действительных чисел a, b и любого
p, 0 < p < 1
                                              b −           t2
                      ⎛    S − np      ⎞   1
                lim P⎜⎜ a ≤ n
               n →∞ ⎝         npq
                                  < b ⎟⎟ =
                                           2π ∫ e 2 dt.
                                       ⎠      a
Если заметить, что
                                 ⎛ S − np      ⎞
                           lim P⎜⎜ n      = b ⎟⎟ = 0,
                          n→∞ ⎝      npq       ⎠
то тем самым доказана интегральная теорема Муавра-Лапласа.
     Теорема. Если вероятность появления события А в каждом
испытании равна p, 0 < p < 1 и постоянна, то при n→∞ и любых
a, b
                                             b −       t2
                     ⎛    S − np      ⎞   1
                  P ⎜⎜ a ≤ n
                             npq
                                 ≤ b ⎟⎟ →
                                          2π ∫ e 2 dt.
                     ⎝                ⎠      a

    На основании этой теоремы для вычисления вероятности со-
бытия


                                       69

Страницы