Теория вероятностей. Воскобойников Ю.Е - 69 стр.

дится урожай, снятый с 900 кустов. •
    • Обозначим через Xi - урожай с i-го куста, i = 1,900 . Тогда
весь урожай S900 = X1 + X 2 +K + X 900 распределен по закону,
близкому к нормальному. Вычислим математическое ожидание и
дисперсию случайной величины S900 . Т.к. M(X) = 1,6, а D(X) =
0,54, то M(S900) = 1440, D(S900) = 486. Используя интегральную
функцию Лапласа, находим, что (-1,96; 1,96) - тот интервал, на
который с вероятностью 0,95 попадает значение случайной вели-
       S − 1440
чины 900         . Поэтому
          486
        P(1440 − 1,96 486 < S900 < 1440 + 1,96 486) = 0,95.
Следовательно, с вероятностью 0,95 можно утверждать что сня-
тый урожай будет равен 1440 ± 43. ♦
     Задача 3.5. Определить, какое наименьшее количество кус-
тов картофеля надо посадить, чтобы с вероятностью 0,975 снять
урожай 1000 кг.
                  3.5. Закон больших чисел
    Последовательность случайных величин X1, X2, ..., Xn, ...
сходится по вероятности к случайной величине X, если для
любого действительного числа ε > 0 :
                   lim P( X n − X < ε ) = 1.
                  n→∞
Сходимость по вероятности будем обозначать X n ⎯⎯→ X .
                                                  p
    Закон больших чисел определяет те условия, при которых
среднее арифметическое n случайных величин сходится по ве-
роятности к некоторой константе.
    Прежде чем приступить к доказательству закона больших
чисел в форме Чебышева, будет доказана следующая
    Лемма (неравенство Чебышева). Для любого ε > 0 веро-
ятность события X − M ( X ) > ε не превосходит D(X) / ε 2, т.е.

              P( X − M ( X ) > ε ) ≤ D( X ) / ε 2 .           (13)

                                     71