Теория вероятностей. Воскобойников Ю.Е - 71 стр.

                 m −ε                       +∞
      D( X ) ≥       ∫   ε 2 p( x )dx +      ∫     ε 2 p( x )dx =
                 −∞                         m +ε

                     ⎛ m −ε                  +∞           ⎞
                         ∫                   ∫
                 2
           =ε ⎜               p ( x )dx +          p( x ) ⎟ = ε 2 P( X − m > ε ).
              ⎜                                           ⎟
              ⎝          −∞                 m +ε          ⎠


Отсюда получаем, что P ( X − m > ε ) ≤ D ( X ) / ε 2 . ■
      Теперь может быть доказана
      Теорема (закон больших чисел в форме Чебышева). Пусть
X1, X2, ... последовательность попарно независимых случайных
величин, дисперсии которых ограничены сверху одним и тем же
числом D(Xi) ≤ C, i = 1, 2, ... . Тогда для любого ε > 0

              ⎛ X +K + X n M ( X 1 ) +... + M ( X n )     ⎞
         lim P⎜ 1         −                           < ε ⎟ = 1.
        n→∞ ⎝      n                   n                  ⎠
     ■ Обозначим через X n среднее арифметическое случай-
ных величин X1, X2, ..., Xn. Нам нужно доказать, что

                         lim P( X n − M ( X n ) < ε ) = 1.
                      n →∞

Так как случайные величины Xi, Хj при i ≠ j независимы, то

                              1    ⎛ n     ⎞ 1 n                 nc c
           D( X n ) =            D⎜ ∑ X i ⎟ =    ∑    D( X i ) ≤   = .
                              n 2 ⎜⎝ i =1 ⎟⎠ n 2 i =1            n2 n

Применяя лемму Чебышева к случайной величине                                     X n,   полу-
чим:
      P( X n − M ( X n ) < ε ) = 1 − P( X n − M ( X n ) > ε ) ≥
                                                    D( X n )           c
                                        ≥ 1−               2
                                                               ≥ 1−          .
                                                       ε              nε 2


                                                     73