Составители:
Рубрика:
73
22
22
( ) () ()
() () ( ).
m
m
m
m
D X p x dx p x dx
p x dx p x P X m
ε
ε
ε
ε
εε
ε
εε
−+∞
−∞ +
−+∞
−∞ +
≥+=
⎛⎞
=+=−>
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
∫∫
∫∫
Отсюда получаем, что
./)()(
2
εε
XDmXP ≤>− ■
Теперь может быть доказана
Теорема (закон больших чисел в форме Чебышева). Пусть
X
1
, X
2
, ... последовательность попарно независимых случайных
величин, дисперсии которых ограничены сверху одним и тем же
числом D(X
i
) ≤C, i = 1, 2, ... . Тогда для любого
ε
> 0
.1
)(...)(
lim
11
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
<
++
−
++
∞→
ε
n
XMXM
n
XX
P
nn
n
K
■ Обозначим через
n
X среднее арифметическое случай-
ных величин
X
1
, X
2
, ..., X
n
. Нам нужно доказать, что
.1))((lim =<−
∞→
ε
nn
n
XMXP
Так как случайные величины
X
i
, Х
j
при i ≠ j независимы, то
∑∑
==
=≤=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
n
i
i
n
i
in
n
c
n
nc
XD
n
XD
n
XD
1
22
1
2
.)(
11
)(
Применяя лемму Чебышева к случайной величине
X
n
, полу-
чим:
22
(())1(())
()
11.
nn nn
n
PX MX PX MX
DX c
n
ε
ε
ε
ε
−<=−−>≥
≥− ≥−
m −ε +∞ D( X ) ≥ ∫ ε 2 p( x )dx + ∫ ε 2 p( x )dx = −∞ m +ε ⎛ m −ε +∞ ⎞ ∫ ∫ 2 =ε ⎜ p ( x )dx + p( x ) ⎟ = ε 2 P( X − m > ε ). ⎜ ⎟ ⎝ −∞ m +ε ⎠ Отсюда получаем, что P ( X − m > ε ) ≤ D ( X ) / ε 2 . ■ Теперь может быть доказана Теорема (закон больших чисел в форме Чебышева). Пусть X1, X2, ... последовательность попарно независимых случайных величин, дисперсии которых ограничены сверху одним и тем же числом D(Xi) ≤ C, i = 1, 2, ... . Тогда для любого ε > 0 ⎛ X +K + X n M ( X 1 ) +... + M ( X n ) ⎞ lim P⎜ 1 − < ε ⎟ = 1. n→∞ ⎝ n n ⎠ ■ Обозначим через X n среднее арифметическое случай- ных величин X1, X2, ..., Xn. Нам нужно доказать, что lim P( X n − M ( X n ) < ε ) = 1. n →∞ Так как случайные величины Xi, Хj при i ≠ j независимы, то 1 ⎛ n ⎞ 1 n nc c D( X n ) = D⎜ ∑ X i ⎟ = ∑ D( X i ) ≤ = . n 2 ⎜⎝ i =1 ⎟⎠ n 2 i =1 n2 n Применяя лемму Чебышева к случайной величине X n, полу- чим: P( X n − M ( X n ) < ε ) = 1 − P( X n − M ( X n ) > ε ) ≥ D( X n ) c ≥ 1− 2 ≥ 1− . ε nε 2 73
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 69
- 70
- 71
- 72
- 73
- …
- следующая ›
- последняя »