Теория вероятностей. Воскобойников Ю.Е - 72 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

НГАСУ «Сибстрин» | Новосибирск

Составители: 

Рубрика: 

74
При n, стремящимся к бесконечности, выражение
2
1
ε
n
c
−
стре-
мится к 1. ■
Если случайные величины
X
1
, X
2
, ..., X
n
.. попарно незави-
симы и одинаково распределены, причем
M(X
i
) = m, D(X
i
) =
σ
2
,
то все предположения теоремы Чебышева выполнены. Так как
M(
n
X ) = m, то можно утверждать, что mX
p
n
⎯→⎯ при
n → ∞. Тем самым мы получим
Следствие (закон больших чисел для одинаково распреде-
ленных случайных величин). Пусть
X
1
, X
2
, ..., X
n
... - попарно
независимые одинаково распределенные случайные величины
M(X
i
) = m, D(X
i
) =
σ
2
. Тогда их среднее арифметическое
n
X
стремится при n → ∞ к константе m, т.е.
n
X → m.
Важным частным случаем теоремы Чебышева является
Теорема (Бернулли). Пусть S
n
- количество появлений со-
бытия А в n независимых опытах, причем вероятность появле-
ния события А в каждом опыте равна P. Тогда относительная
частота
S
n
/n появления события А в n независимых опытах
сходится по вероятности к константе P, т.е.
P
n
S
p
n
⎯→⎯ .
■ Случайная величина S
n
, как отмечалось неоднократно ра-
нее, может быть представлена в виде суммы
S
n
= S
n
(1)
+ S
n
(2)
+ ...
+
S
n
(n)
попарно независимых одинаково распределенных случай-
ных величин, причем
M(S
n
(i)
)= P. Тогда по следствию из теоре-
мы Чебышева получаем:
,)(,
)(
)()2()1(
PSM
n
SSS
n
S
i
n
n
nnnn
=
+++
=
K
.
)()2()1(
P
n
SSS
p
n
nnn
⎯→⎯
+++
K
■
p 
                                                                  c
При n, стремящимся к бесконечности, выражение 1 −                        стре-
                                                                nε 2
мится к 1. ■
    Если случайные величины X1, X2, ..., Xn.. попарно незави-
симы и одинаково распределены, причем M(Xi) = m, D(Xi) = σ ,
                                                            2

то все предположения теоремы Чебышева выполнены. Так как
M( X n ) = m,  то можно утверждать, что X n ⎯⎯→ m при
                                                  p
n → ∞. Тем самым мы получим
    Следствие (закон больших чисел для одинаково распреде-
ленных случайных величин). Пусть X1, X2, ..., Xn... - попарно
независимые одинаково распределенные случайные величины
M(Xi) = m, D(Xi) = σ 2. Тогда их среднее арифметическое X n
стремится при n → ∞ к константе m, т.е. X n → m.
    Важным частным случаем теоремы Чебышева является
    p
    Теорема (Бернулли). Пусть Sn - количество появлений со-
бытия А в n независимых опытах, причем вероятность появле-
ния события А в каждом опыте равна P. Тогда относительная
частота Sn/n появления события А в n независимых опытах
                                                    Sn
сходится по вероятности к константе P, т.е.            ⎯⎯→ P .
                                                    n   p
      ■ Случайная величина Sn, как отмечалось неоднократно ра-
                                                  (1)   (2)
нее, может быть представлена в виде суммы Sn = Sn + Sn + ...
    (n)
+Sn     попарно независимых одинаково распределенных случай-
                           (i)
ных величин, причем M(Sn )= P. Тогда по следствию из теоре-
мы Чебышева получаем:

            S n S n(1) + S n( 2) + K + S n( n )
               =                                ,   M ( S n(i ) ) = P,
             n                  n
                   S n(1) + S n( 2) + K + S n( n )
                                                   ⎯⎯→ P. ■
                                   n                p




                                       74

Страницы