Теория вероятностей. Воскобойников Ю.Е - 74 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

НГАСУ «Сибстрин» | Новосибирск

Составители: 

Рубрика: 

76
величины, можно найти закон распределения составляющих X и
Y.
Действительно, рассмотрим события
А
1
= {X = x
1
}, ..., А
n
= {X = x
n
}. Если n конечно, то события А
1
, ..., А
n
составляет
полную группу событий, а значит,
А
1
+ ... + А
n
=
Ω
. Пусть
.,1,}{ mjyYB
ij
=== Для операции над событиями верны сле-
дующие равенства:
.)(
11 jnjjnjj
BABABAABB
+
+
=
⋅
+
+
=Ω= KK
Поэтому
1
1
11
() ( ) ( )
() ( )
(, ) ( , ) .
jjjnj
jnj
jnjjnj
PB PY y P AB AB
PAB PAB
PX x Y y PX x Y y P P
=== ++ =
=++ =
===++= ==++
K
K
KK
Обозначим сумму элементов j-ой строки из таблицы 1 через
p.
j
. Тем самым мы доказали, что составляющая Y имеет ряд
распределения
Y
y
1
y
2
...
y
m
P
p.
1
p.
2
...
p.
m
Аналогично, составляющая X принимает значения x
i
, i =
n,1 с вероятностями p
i
., где p
i
. - сумма вероятностей i-го
столбца из таблицы 1.
Отметим, что сумма всех вероятностей
p
i
j
равна 1, т.к.
∑∑ ∑
== =
=
n
i
m
j
n
i
iij
pp
11 1
,
а последняя сумма, как отмечено в главе II, равна 1.
Составляющие X и Y двумерной дискретной случайной ве-
личины будут независимыми тогда и только тогда, когда для лю-
величины, можно найти закон распределения составляющих X и
Y.
    Действительно, рассмотрим события       А1 = {X = x1}, ..., Аn
= {X = xn}. Если n конечно, то события А1, ..., Аn составляет
полную группу событий, а значит, А1 + ... + Аn = Ω . Пусть
B j = {Y = yi }, j = 1,m. Для операции над событиями верны сле-
дующие равенства:
        B j = ΩB j = ( A1 +K + An ) ⋅ B j = A1B j +K + An B j .
Поэтому
 P( B j ) = P(Y = y j ) = P( A1B j + K + An B j ) =
        = P( A1B j ) + K + P( An B j ) =
 = P( X = x1, Y = y j ) + K + P( X = xn , Y = y j ) = P1 j + K + Pnj .
    Обозначим сумму элементов j-ой строки из таблицы 1 через
p.j . Тем самым мы доказали, что составляющая Y имеет ряд
распределения

                Y          y1           y2            ...     ym



                P         p.1           p.2           ...     p.m
    Аналогично, составляющая X принимает значения xi, i =
1,n с вероятностями pi., где pi. - сумма вероятностей i-го
столбца из таблицы 1.
    Отметим, что сумма всех вероятностей pi j равна 1, т.к.
                                n m            n
                            ∑ ∑ pij = ∑ pi ,
                            i =1 j =1         i =1

а последняя сумма, как отмечено в главе II, равна 1.
    Составляющие X и Y двумерной дискретной случайной ве-
личины будут независимыми тогда и только тогда, когда для лю-

                                        76

Страницы