Теория вероятностей. Воскобойников Ю.Е - 70 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

НГАСУ «Сибстрин» | Новосибирск

Составители: 

Рубрика: 

72
■ Доказательство проведем для непрерывной случайной ве-
личины X. Обозначим ее математическое ожидание M(X) через m,
а плотность распределения вероятностей через
p(x). Так как со-
бытие
ε
>− mX можно представить в виде суммы двух несо-
вместных событий
X - m >
ε
и X - m > -
ε
, то
()()( )
()().
PX m PX m PX m
PX m PX m
ε
εε
εε
−>= −>+ −<−=
=>++<−
Вероятности попаданий случайной величины X на интервалы
(−∞, m−
ε
) и (m+
ε
, +∞) можно выразить с помощью интегра-
лов от плотности распределения
∫
∞
+
=+>
ε
ε
m
dxxpmXP ,)()(
∫
∞
−
=−<
ε
ε
m
dxxpmXP )()(
.
С другой стороны
2
22
22
2
() ( ) ()
()() ()()
()() ()()
()().
mm
m
m
m
m
DX x m pxdx
x
mpxdx xmpxdx
x
mpxdx xmpxdx
xmpxdx
εε
ε
ε
ε
ε
+∞
−∞
−+
−∞ −
+∞ −
+−∞
+∞
+
=− =
=− +− +
+− ≤ − +
+−
∫
∫∫
∫∫
∫
Так как на интервале
(−∞, m−
ε
) значение функции x − m
меньше, чем −
ε
, то (x − m)
2
>
ε
2
. Аналогично, на интервале
(m +
ε
, +∞) имеем (x − m)
2
>
ε
2
. Следовательно, 
     ■ Доказательство проведем для непрерывной случайной ве-
личины X. Обозначим ее математическое ожидание M(X) через m,
а плотность распределения вероятностей через p(x). Так как со-
бытие X − m > ε можно представить в виде суммы двух несо-
вместных событий X - m > ε и X - m > -ε, то
       P( X − m > ε ) = P( X − m > ε ) + P( X − m < −ε ) =
                               = P( X > m + ε ) + P( X < m − ε ).
Вероятности попаданий случайной величины X на интервалы
(−∞, m−ε) и (m+ε, +∞) можно выразить с помощью интегра-
лов от плотности распределения
                            ∞                                         ∞
    P( X > m + ε ) =           ∫ p( x )dx,    P( X < m − ε ) =        ∫ p( x )dx .
                           m +ε                                     m −ε
С другой стороны
                          +∞

                           ∫ ( x − m)
                                        2
           D( X ) =                         p ( x )dx =
                          −∞
               m −ε                             m +ε

                 ∫                                ∫
                                 2
           =          ( x − m) p( x )dx +              ( x − m ) 2 p( x )dx +
                −∞                              m −ε
               +∞                               m −ε
           +    ∫     ( x − m )2 p ( x )dx ≤     ∫     ( x − m )2 p ( x )dx +
               m +ε                              −∞
               +∞
           +    ∫     ( x − m )2 p ( x )dx.
               m +ε
Так как на интервале (−∞, m−ε) значение          функции x − m
меньше, чем −ε, то (x − m)2 > ε 2. Аналогично, на интервале
(m + ε, +∞) имеем (x − m)2 > ε 2. Следовательно,




                                                72

Страницы