Теория вероятностей. Воскобойников Ю.Е - 77 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

НГАСУ «Сибстрин» | Новосибирск

Составители: 

Рубрика: 

79
Рис. 13
Определим следующие свойства функции распределения па-
ры любых случайных величин (X, Y):
1) ;1),(0 ≤≤ yxF
2) .0),(lim),(lim),(lim
=
=
=
−∞→
−∞→−∞→−∞→
yxFyxFyxF
y
xyx
■ Докажем, например, первый из этих пределов.
Пусть
x
1
, x
2
, ..., x
n
, ... - любая последовательность дейст-
вительных чисел, монотонно убывающая до −∞.
Рассмотрим последовательность события
}.,{
,
yYxXC
nyx
n
<
<
=
Так как последовательность x
n
монотонно убывает, то
,
,,,
21
KK
⊃
⊃
⊃
yxyxyx
n
CCC
причем
∏
∞
=
∅=
1
,
.
n
yx
n
C Из аксиомы непрерывности следует
.0)(lim
,
=
∞→
yx
n
n
CP
Но ).,()(
,
yxFCP
nyx
n
=
Значит
.0),(lim =
∞−→
yxF
x
■
3) F(x, y) неубывающая функция по каждому аргументу, т.е.
x
2
> x
1
влечет F(x
2
, y) ≥ F(x
1
, y); y
2
> y
1
влечет F(x,
y
2
) ≥ F(x, y
1
). 
                                   Рис. 13

    Определим следующие свойства функции распределения па-
ры любых случайных величин (X, Y):

        1) 0 ≤ F ( x, y ) ≤ 1;
        2) lim F ( x, y ) = lim F ( x, y ) = lim F ( x, y ) = 0.
           x → −∞               y → −∞             x → −∞
                                                   y → −∞

   ■ Докажем, например, первый из этих пределов.
     Пусть x1, x2, ..., xn, ... - любая последовательность дейст-
вительных чисел, монотонно убывающая до −∞.
    Рассмотрим последовательность события

                          C x n , y = { X < xn ,Y < y}.

Так как последовательность xn монотонно убывает, то
                      C x1 , y ⊃ C x 2 , y ⊃ K C x n , y ⊃ K,

            ∞
причем     ∏ Cx     n,y
                          = ∅. Из аксиомы непрерывности следует
           n =1
 lim P (C x n , y ) = 0. Но P (C x n , y ) = F ( xn , y ). Значит
n→∞
  lim     F ( x, y ) = 0. ■
x→ − ∞


    3) F(x, y)  неубывающая функция по каждому аргументу, т.е.
x2 > x1    влечет F(x2, y) ≥ F(x1, y); y2 > y1 влечет    F(x,
y2) ≥ F(x, y1).
                                           79

Страницы