Составители:
Рубрика:
81
ны включения
KK ⊂⊂⊂
nn
yxyxyx
CCC
,,,
2211
и
∑
∞
=
Ω=
1
,
n
yx
nn
C . Поэтому
.1)()lim()(lim
,,
=
Ω
=
=
∞→∞→
PCPCP
nnnn
yx
n
yx
n
Но
).,()(
, nnyx
yxFCP
nn
=
Значит .1),(lim
,
=
∞→
yxF
yx
■
Двумерную случайную величину (X, Y) называют непре-
рывной, если существует функция
0),( ≥yxP такая, что для
любых действительных чисел x, y имеет место равенство
∫∫
∞−∞−
=
x
y
dvduvuPyxF ,),(),(
причем двойной несобственный
интеграл
∫∫
+∞
∞−
+∞
∞−
,),( dvduvuP существует и равен единице.
Функцию P(x, y) называют плотностью распределения ве-
роятностей двумерной случайной величины (X, Y).
Как известно из курса математического анализа, в точках не-
прерывности подынтегральной функции P(x, y) смешанная про-
изводная
),(
,
yxF
yx
′′
от интеграла F(x, y) равна значению функ-
ции P(u, v) в точке (x, y), т.е.
).,(
),(
2
yxP
yx
yxF
=
∂∂
∂
(14)
Выясним вероятностный смысл плотности распределения
вероятности P(x, y). Для этого рассмотрим прямоугольник ABCD
на плоскости XY (см. рис. 14). Вычислим вероятность попадания
случайной точки (X, Y) в этот прямоугольник
)),(( Π
∈
YXP .
Y
y
y+Δ
B C
ны включения C x1 , y1 ⊂ C x 2 , y 2 ⊂ K C x n , y n ⊂ K и ∞ ∑ Cx n , yn = Ω . Поэтому n =1 lim P (C x n , y n ) = P ( lim C x n , y n ) = P (Ω) = 1. Но n →∞ n →∞ P(C x n , y n ) = F ( xn , y n ). Значит lim F ( x, y ) = 1. ■ x, y → ∞ Двумерную случайную величину (X, Y) называют непре- рывной, если существует функция P ( x, y ) ≥ 0 такая, что для любых действительных чисел x, y имеет место равенство x y F ( x, y ) = ∫ ∫ P(u, v)dudv, причем двойной несобственный −∞ −∞ +∞ +∞ интеграл ∫ ∫ P(u, v )dudv, существует и равен единице. −∞ −∞ Функцию P(x, y) называют плотностью распределения ве- роятностей двумерной случайной величины (X, Y). Как известно из курса математического анализа, в точках не- прерывности подынтегральной функции P(x, y) смешанная про- изводная Fx′′, y ( x, y ) от интеграла F(x, y) равна значению функ- ции P(u, v) в точке (x, y), т.е. ∂ 2 F ( x, y ) = P ( x, y ). (14) ∂ x∂ y Выясним вероятностный смысл плотности распределения вероятности P(x, y). Для этого рассмотрим прямоугольник ABCD на плоскости XY (см. рис. 14). Вычислим вероятность попадания случайной точки (X, Y) в этот прямоугольник P (( X , Y ) ∈ Π ) . Y y + Δy B C 81
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 77
- 78
- 79
- 80
- 81
- …
- следующая ›
- последняя »