Теория вероятностей. Воскобойников Ю.Е - 79 стр.

ны включения C x1 , y1 ⊂ C x 2 , y 2 ⊂ K C x n , y n ⊂ K и
 ∞
∑ Cx    n , yn
                 = Ω . Поэтому
n =1
 lim P (C x n , y n ) = P ( lim C x n , y n ) = P (Ω) = 1. Но
n →∞                       n →∞
P(C x n , y n ) = F ( xn , y n ). Значит    lim F ( x, y ) = 1.      ■
                                           x, y → ∞
     Двумерную случайную величину (X, Y) называют непре-
рывной, если существует функция P ( x, y ) ≥ 0 такая, что для
любых действительных чисел x, y имеет место равенство
                 x   y
F ( x, y ) =     ∫ ∫ P(u, v)dudv,          причем     двойной       несобственный
               −∞ −∞
               +∞ +∞
интеграл         ∫ ∫ P(u, v )dudv, существует и равен единице.
             −∞ −∞
    Функцию P(x, y) называют плотностью распределения ве-
роятностей двумерной случайной величины (X, Y).
    Как известно из курса математического анализа, в точках не-
прерывности подынтегральной функции P(x, y) смешанная про-
изводная Fx′′, y ( x, y ) от интеграла F(x, y) равна значению функ-
ции P(u, v) в точке (x, y), т.е.
                           ∂ 2 F ( x, y )
                                          = P ( x, y ).                      (14)
                             ∂ x∂ y
      Выясним вероятностный смысл плотности распределения
вероятности P(x, y). Для этого рассмотрим прямоугольник ABCD
на плоскости XY (см. рис. 14). Вычислим вероятность попадания
случайной точки (X, Y) в этот прямоугольник P (( X , Y ) ∈ Π ) .
      Y

   y + Δy
                          B                                     C

                                                 81