Теория вероятностей. Воскобойников Ю.Е - 81 стр.

                             Fx′ ( x, y + Δy ) − Fx′ ( x, y )
                ϕ ′( x ) =                                    .
                                           Δy
С помощью этой функции выражение W можно переписать в
виде:
                               ϕ ( x + Δx ) − ϕ ( x )
                       W =                              .
                                         Δx
Так как для функции ϕ (x) в промежутке [x, x + Δx] выполня-
ются все условия теоремы Лагранжа о конечных приращениях, то
можно преобразовать выражение W:
                       ϕ ′( x + θ Δx )Δx
                W =                     = ϕ ′( x + θ Δx ) =
                              Δx
                  F ′ ( x + θ Δx, y + Δy ) − Fx′ ( x + θ Δx, y )
                 = x                                             ,
                                       Δy
где 0 < θ < 1. Пользуясь существованием второй производной
  ′′ ( x, y ) снова применим формулу конечных приращений, на
Fxy
этот раз - к функции Fx′ ( x + θ Δx, y ) в промежутке [y, y + Δy].
Окончательно получим
            W = Fx′′, y ( x + θ Δx, y + θ1Δy ), 0 < θ1 < 1.

Тем самым мы получили, что
         P (( X , Y ) ∈ п ) = P ( x + θ Δx, y + θ1Δy ) ⋅ Δx ⋅ Δy ,
Мы в дальнейшем используем этот факт для вычисления вероят-
ности попадания случайной точки в произвольную область на
плоскости. А пока, чтобы установить вероятностный смысл
плотности распределения вероятностей P(x, y) двумерной слу-
чайной величины, перейдем к пределу при Δx, Δy, стремящихся
к нулю в левой и правой частях равенства:



                                           83