Теория вероятностей. Воскобойников Ю.Е - 83 стр.

    Здесь суммирование распространяется на все прямоугольни-
ки Пij, имеющие общие точки с областью D. Но как было заме-
чено ранее
                 Pij = P (( X , Y ) ∈ Π ij ) = P ( xi , y j ) ΔxΔy ,

где (xi, yj) - некоторая точка в прямоугольнике Пij.
      Поэтому

            P(( X , Y ) ∈ D) = lim
                                       Δx , Δy → 0
                                                     ∑ P( x , y
                                                             i    j
                                                                      ) ΔxΔy.

Так как предел интегральной суммы               ∑ P( xi , y j )ΔxΔy        при Δx,
Δy, стремящихся к нулю, равен двойному интегралу по области
D от функции P(x, y), то мы получили формулу

               P (( X , Y ) ∈ D ) = ∫∫ P( x, y )dxdy.                           (15)
                                     D
    Пара случайных величин (X, Y) распределена равномерно в
области D на плоскости, если плотность распределения вероят-
ности имеет вид:
                                ⎧C , ( x, y ) ∈ D
                   P ( x, y ) = ⎨
                                ⎩0, ( x, y ) ∉ D,
где C - некоторая константа. Так как P ( x, y ) ≥ 0, то C > 0.
Обозначим площадь области D через S. Тогда

         +∞ +∞
         ∫ ∫     P ( x, y )dxdy = ∫∫ Cdxdy = C ∫∫ dxdy = C ⋅ S = 1.
         −∞ −∞                     D                     D
Следовательно, C = 1/S.
    ♦ Пример 4.3. Пара случайных величин (X, Y) распределе-
на равномерно в круге радиуса R с центром в начале координат.
Найти плотность распределения вероятностей P(x, y), а также ве-
роятность попадания случайной точки (X, Y) в квадрат, вписан-

                                            85