Теория вероятностей. Воскобойников Ю.Е - 85 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

НГАСУ «Сибстрин» | Новосибирск

Составители: 

Рубрика: 

87
тей. Следовательно,
1
( ) lim ( , ) lim ( , )
(,)((,))
(,) (,) .
yy
x
D
Fx Fxy PX xY y
PX xY P XY D
P u v du dv P u v du dv
→∞ →∞
+∞
−∞ −∞
==<<=
=<<∞= ∈=
==
∫∫ ∫ ∫
Так как P
1
(x) - плотность распределения составляющей X
равна производной от функции F
1
(x), то
∫∫∫
∞+
∞−∞−
∞+
∞−
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
′
,),(),()(
'
1
dvvxPdudvvuPxF
x
x
как производная по верхнему пределу в интеграле. Значит
∫
+∞
∞−
= .),()(
1
dvvxPxP
(17)
Аналогично
∫
+∞
∞−
= .),()(
2
duyuPyP
(18)
При решении задач полезно использовать тот факт, что
P
1
(x) представляет собой площадь сечения, ограниченного лини-
ей пересечения поверхности Z = P(x, y) с плоскостью, парал-
лельной плоскости Z Y, проходящей через точку (x, 0, 0) и пря-
мой e. Часть этого сечения заштрихована на рис. 17. Аналогич-
ный смысл имеет функция
P
2
(y). 
тей. Следовательно,

             F1 ( x ) = lim F ( x, y ) = lim P ( X < x, Y < y ) =
                      y →∞                  y →∞

             = P ( X < x, Y < ∞ ) = P (( X , Y ) ∈ D ) =
                                       x +∞
             = ∫∫ P (u, v )du dv =     ∫ ∫ P(u, v )du dv.
               D                       −∞ −∞



      Так как P1(x) - плотность распределения составляющей X
равна производной от функции F1(x), то
                                                   '
                        ⎛ x +∞           ⎞   +∞
                        ⎜                ⎟
              F1′( x ) = ∫ ∫ P(u, v )dudv = ∫ P( x, v )dv,
                        ⎜                ⎟
                        ⎝ −∞ −∞          ⎠ x −∞
как производная по верхнему пределу в интеграле. Значит
                                       +∞
                          P1 ( x ) =    ∫ P( x, v )dv.              (17)
                                       −∞
Аналогично
                                       +∞
                          P2 ( y ) =    ∫ P(u, y )du.               (18)
                                       −∞
      При решении задач полезно использовать тот факт, что
P1(x) представляет собой площадь сечения, ограниченного лини-
ей пересечения поверхности Z = P(x, y) с плоскостью, парал-
лельной плоскости Z Y, проходящей через точку (x, 0, 0) и пря-
мой e. Часть этого сечения заштрихована на рис. 17. Аналогич-
ный смысл имеет функция P2(y).




                                            87

Страницы