Теория вероятностей. Воскобойников Ю.Е - 87 стр.

         x              А
                          Рис. 18

     Поэтому при указанных значениях y

             P2 ( y ) = S ABCD = AD ⋅ AB = 2 R 2 − y 2 / π R 2 .
При ⎪y⎪ > 1 площадь сечения равна нулю. Поэтому


                        ⎧⎪2 R 2 − y 2 / π R 2 , где y ≤ R;
             P2 ( y ) = ⎨
                         ⎪⎩ 0,                  где y > R.

Аналогично
                          ⎧⎪ 2 R 2 − x 2 / π R 2 ,   где x ≤ R;
               P1 ( x ) = ⎨
                           ⎪⎩ 0,                     где x ≤ R.♦

     При рассмотрении центральной предельной теоремы мы
ввели понятие независимых непрерывных случайных величин.
Согласно определению, непрерывные случайные величины X и
Y независимы, если для любых действительных чисел x и y
выполняется равенство
                 P ( X < x, Y < y ) = P( X < x ) P (Y < y ).
Пользуясь функциями распределений F(x, y), F1(x), F2(y) пары
случайных величин (X, Y) и составляющих, можно сказать, что
случайные величины X и Y независимы тогда и только тогда,
когда функция распределения пары случайных величин F(x, y)
равна произведению функций распределения составляющих, т.е.
                         F(x, y) = F1(x)F2(y) .                    (19)
Вычислим вторую смешанную производную от левой и правой
частей равенства (19). Получим:


                                        89