Теория вероятностей. Воскобойников Ю.Е - 88 стр.

                      Fx′′, y ( x, y ) = Fx′ ( x ) F y′ ( y ).

Но это означает, что плотность распределения пары случайных
величин P(x, y) равна произведению плотностей распределений
составляющих, т.е.
                        P(x, y) = P1(x)P2(y) .         (20)
Из (20) можно получить (19). Действительно
            x   y                         x                 y
            ∫ ∫     P (u, v )du,dv =      ∫   P1 (u )du    ∫ P2 (v )dv.
           −∞ −∞                         −∞               −∞
Т.е.
                      F(x, y) = F1(x)F2(y) .
Тем самым мы доказали
     Критерий независимости непрерывных случайных вели-
чин:
     Для того, чтобы непрерывные случайные величины X и Y
были независимы необходимо и достаточно, чтобы в точках не-
прерывности функций P(x, y), P1(x), P2(y) выполнялось равенст-
во (20).
     ♦ Пример 4.5. Являются ли независимыми составляющие
двумерной случайной величины (X, Y), определенной в примере
4.4. •
     • Для независимости случайных величин X и Y необходи-
мо и достаточно выполнение равенства (20). Но
                                                                          ч
                    ⎧⎪     2  2    2   2     2 4
P1 ( x ) P2 ( y ) = ⎨4 ( R − x )( R − y ) / π R , где − R ≤ x, y ≤ R,
                     ⎪⎩ 0,                   в остальных случаях;
             ⎧⎪1 / π R 2 , где x 2 + y 2 ≤ R 2 ,
P ( x , y )= ⎨
              ⎪⎩ 0, где x 2 + y 2 > R 2 .
Ясно, что P(x, y) ≠ P1(x)P2(y). Значит, случайные величины X и Y
зависимы.



                                              90