Теория вероятностей. Воскобойников Ю.Е - 90 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

НГАСУ «Сибстрин» | Новосибирск

Составители: 

Рубрика: 

92
♦ Пример 4.6. Распределение пары случайных величин
(X, Y) задано таблицей 3. Найти корреляционный момент
μ
X,Y
.•
Таблица 3
X
Y
-1 0 1
0
1
8
1
12
1
8
1
1
6
1
3
1
6
•Вычислим математическое ожидание M(X), M(Y):
,0
24
7
1
12
5
0
24
7
1)( =⋅+⋅+⋅−=XM .
3
2
3
2
1
3
1
0)( =⋅+⋅=YM
Используя формулу (22), найдем
μ
X,Y
:
32
,
11
221
(0) (1)
338
21 21 21
(1) 1 1 1 1 0.
36 38 36
XY i i ij
ij
xyp
μ
==
⎛⎞ ⎛⎞
=−−=−⋅⋅+
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠
⎛⎞ ⎛⎞ ⎛⎞
+−⋅− ⋅+⋅− ⋅+⋅− ⋅=
⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠ ⎝⎠
∑∑
Итак, корреляционный момент
μ
X,Y
= 0. ♦
* Пример 4.7. Пара случайных величин (X, Y) распреде-
лена равномерно в круге
x
2
+ y
2
≤
1. Вычислить
μ
X,Y
.•
• Как следует из примера 4.4
∫
−
=−=
1
1
2
,01
1
)( dxxxXM
π
т.к. подынтегральная функция
2
1 xxy −=
нечетная, а про-
      ♦ Пример 4.6. Распределение пары случайных величин
(X, Y) задано таблицей 3. Найти корреляционный момент μX,Y.•
                                                 Таблица 3
                      X       -1                    0            1
           Y
                  0               1               1             1
                                  8              12             8
                  1               1                 1            1
                                  6                 3            6
  •Вычислим математическое ожидание M(X), M(Y):

                  7        5    7                                   1     2 2
 M ( X ) = −1 ⋅      + 0 ⋅ + 1⋅    = 0,                 M (Y ) = 0 ⋅ + 1 ⋅ = .
                  24      12    24                                  3     3 3

    Используя формулу (22), найдем μX,Y:
             3 2
    μ X ,Y = ∑∑ ( xi − 0) ⎛⎜ yi − ⎞⎟ pij = ( −1) ⋅ ⎛⎜ ⎞⎟ ⋅ +
                                 2                   2 1
            i =1 j =1         ⎝           3⎠                 ⎝ 3⎠ 8
                      ⎛ 2⎞ 1          ⎛ 2⎞ 1        ⎛ 2⎞ 1
            + ( −1) ⋅ ⎜ 1 − ⎟ ⋅ + 1 ⋅ ⎜ − ⎟ ⋅ + 1 ⋅ ⎜ 1 − ⎟ ⋅ = 0.
                      ⎝ 3⎠ 6          ⎝ 3⎠ 8        ⎝ 3⎠ 6
    Итак, корреляционный момент μX,Y = 0.                ♦
    * Пример 4.7. Пара случайных величин (X, Y) распреде-
лена равномерно в круге x + y ≤ 1. Вычислить μX,Y.•
                         2    2

    • Как следует из примера 4.4
                                          1
                                      1
                          M(X ) =         ∫x    1 − x 2 dx = 0,
                                      π
                                          −1

т.к. подынтегральная функция                  y = x 1 − x2      нечетная, а про-

                                               92

Страницы