Теория вероятностей. Воскобойников Ю.Е - 91 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

НГАСУ «Сибстрин» | Новосибирск

Составители: 

Рубрика: 

93
межуток интегрирования симметричен относительно начала ко-
ординат. Аналогично M(Y) = 0. Поэтому по формуле (23) полу-
чим:
∫∫∫∫
≤+
+∞
∞−
+∞
∞−
==
1
,
22
.
1
),(
yx
YX
dydxxydydxyxpxy
π
μ
Двойной интеграл от функции xy, вычисленный по кругу x
2
+ y
2
≤1, равен нулю. Действительно,
∑
∫∫∫
=
≤+
=
4
1
1
,
22
i
D
yx
dydxxydydxxy
i
где D
i
- часть круга, лежащая в i-ой четверти. Так как
∫∫ ∫∫∫∫ ∫∫
−=−=
3412
,;
DDDD
dydxxydydxxydydxxydydxxy
то
μ
X,Y
.= 0. ♦
Введем некоторые свойства корреляционного момента.
Свойство 1. Для любых случайных величин X и Y имеет
место равенство
μ
XY
MXY MXMY
,
() ()().=
−
■ На основании свойств математического ожидания, полу-
чим:
,
(())(())
(()()()())
() (()) (()) ()()
( ) ( ) () ( ) () ( ) ()
() ()().
XY
MX Mx Y MY
MXY MXY MYX MXMY
MXY MMXY MMYX MXMY
MXY MXMY MXMY MXMY
MXY MXMY
μ
=− − =
=− − + =
=− − + =
=− − + =
=−
Свойство 2. Корреляционный момент двух независи-
мых случайных величин равен нулю.
■ Как следует из свойства 1
■
межуток интегрирования симметричен относительно начала ко-
ординат. Аналогично M(Y) = 0. Поэтому по формуле (23) полу-
чим:
                        +∞ +∞
                                                                        1
             μ X ,Y =   ∫ ∫ xy p( x, y )dxdy = ∫∫                  xy
                                                                        π
                                                                            dxdy.
                        −∞ −∞                            2   2
                                                        x + y ≤1

Двойной интеграл от функции xy, вычисленный по кругу x2 + y2
≤ 1, равен нулю. Действительно,
                                               4
                                ∫ xydxdy = ∑ ∫∫ xydxdy,
                          x 2 + y 2 ≤1        i =1 Di

где Di - часть круга, лежащая в i-ой четверти. Так как

        ∫∫ xydxdy = − ∫∫ xydxdy; ∫∫ xydxdy = − ∫∫ xydxdy,
        D1                D2             D3                  D4

то μX,Y.= 0. ♦
    Введем некоторые свойства корреляционного момента.
    Свойство 1. Для любых случайных величин X и Y имеет
место равенство
               μ X ,Y = M ( XY ) − M ( X ) M (Y ).
    ■ На основании свойств математического ожидания, полу-
чим:
μ X ,Y = M ( X − M ( x ))(Y − M (Y )) =
     = M ( XY − M ( X )Y − M (Y ) X + M ( X ) M (Y )) =
     = M ( XY ) − M ( M ( X )Y ) − M ( M (Y ) X ) + M ( X ) M (Y ) =
     = M ( XY ) − M ( X ) M (Y ) − M ( X ) M (Y ) + M ( X ) M (Y ) =
     = M ( XY ) − M ( X ) M (Y ). ■
   Свойство 2.       Корреляционный момент двух независи-
мых случайных величин равен нулю.
   ■ Как следует из свойства 1

                                              93

Страницы