Теория вероятностей. Воскобойников Ю.Е - 93 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

НГАСУ «Сибстрин» | Новосибирск

Составители: 

Рубрика: 

95
■ Рассмотрим дисперсию случайных величин
Y
X
YX
σ
σ
+
и
Y
X
YX
σ
σ
−
. Т.к. дальнейшие выкладки
для вычисления дисперсий идентичны, то объединим их:
.
)()(
2
2
2
2
2
2
2
2
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
±−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+±=
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
±−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
±=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
±
YX
Y
YX
X
YXYXYX
YMXMYYXX
M
YX
M
YX
M
YX
D
σσ
σ
σσ
σ
σσσσσσ
Воспользуемся свойствами математического ожидания. Получим
22
22
22
22
() () ( )
2
() () () ()
2
XY X Y XY
XY XY
X Y MX MY MXY
D
M
XMY MXMY
σσ σ σ σσ
σσ σσ
⎛⎞
±= + ± −
⎜⎟
⎝⎠
−−±
Так как
,1
)()(
,1
)()(
2
2
2
2
2
2
2
2
=−=−
YYXX
YMYMXMXM
σσσσ
то
YX
YXYX
r
YMXMXYMYX
D
,
22
)()()(
22 ±=
−
±=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
±
σσσσ
.
Дисперсия любой случайной величины неотрицательна. Зна-
чит
022
,
≥±=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
±
YX
YX
r
YX
D
σσ
при любом выборе знаков.
Но тогда
01
,
≥+
YX
r и 01
,
≥
−
YX
r т.е. .1
,
≤
YX
r
Как следует из выкладок, дисперсия случайной величины
Y
X
YX
σ
σ
−
равна нулю тогда и только тогда, когда r
X,Y
= 1.
С другой стороны равенство дисперсии нулю означает, что слу-
чайная величина
Y
X
YX
σ
σ
−
на самом деле является кон-
     ■   Рассмотрим     дисперсию      случайных     величин
X σ X + Y σ Y и X σ X − Y σ Y . Т.к. дальнейшие выкладки
для вычисления дисперсий идентичны, то объединим их:
                                                    2
             ⎛ X    Y      ⎞       ⎛ X    Y      ⎞         ⎛ X    Y       ⎞
          D ⎜⎜    ±        ⎟⎟ = M ⎜⎜    ±        ⎟⎟ − M 2 ⎜⎜    ±         ⎟⎟ =
             ⎝ σ X σY       ⎠      ⎝ σ X σY       ⎠        ⎝ σ X σY        ⎠
             ⎛ X2     X Y     Y2            ⎞ ⎛ M ( X ) M (Y ) ⎞ 2
          = M⎜    ±2        +               ⎟−⎜        ±       ⎟⎟ .
             ⎜σ 2    σ X σ Y σ Y2           ⎟ ⎜⎝ σ X     σ      ⎠
             ⎝ X                            ⎠              Y

Воспользуемся свойствами математического ожидания. Получим

            ⎛ X    Y ⎞ M ( X 2 ) M (Y 2 )      M ( XY )
           D⎜    ±   ⎟=           +         ±2           −
            ⎝ σ X σY ⎠     σX       σY         σ Xσ Y
                               2        2


                        M 2 ( X ) M 2 (Y )    M ( X ) M (Y )
                      −          −         ±2
                             2
                                 σX   2
                                               σY               σ Xσ Y
Так как
         M(X 2)       M 2(X )           M (Y 2 )        M 2 (Y )
                  −             = 1,                −              = 1,
          σ X2          σ X2              σ Y2           σ Y2
то
        ⎛ X    Y      ⎞          M ( XY ) − M ( X ) M (Y )
     D ⎜⎜    ±        ⎟⎟ = 2 ± 2                           = 2 ± 2rX ,Y .
        ⎝ σ X σY       ⎠                 σ XσY
     Дисперсия любой случайной величины неотрицательна. Зна-
         ⎛ X      Y ⎞
чит D ⎜⎜    ±   ⎟⎟ = 2 ± 2rX ,Y ≥ 0 при любом выборе знаков.
       ⎝ σ X σY ⎠
Но тогда 1 + rX ,Y ≥ 0 и 1 − rX ,Y ≥ 0 т.е.              rX ,Y ≤ 1.
     Как следует из выкладок, дисперсия случайной величины
X σ X − Y σ Y равна нулю тогда и только тогда, когда rX,Y = 1.
С другой стороны равенство дисперсии нулю означает, что слу-
чайная величина X σ X − Y σ Y на самом деле является кон-
                                          95

Страницы