Теория вероятностей. Воскобойников Ю.Е - 94 стр.

стантой, т.е.  X σ X − Y σ Y = const. Выразив из этого соот-
ношения Y, получим Y = a X + b, где a = σY /σX > 0.
   Аналогично проверяется, что коэффициент корреляции rX,Y =
− 1 тогда и только тогда, когда Y = a X + b и a < 0. ■
     Пара случайных величин распределена по нормальному
закону, если ее функция плотности имеет вид:
                       1
  P( x, y ) =                      ⋅
                2πσ 1σ 2 1 − r 2
        ⎧     1     ⎡ ( x − a1 ) 2 ( y − a2 ) 2       x − a1 y − a2 ⎤ ⎫
  ⋅ exp ⎨ −      2 ⎢
                                  +             − 2 r                 ⎬
        ⎩ 2(1 − r ) ⎣ σ 1
                            2
                                       σ 22            σ1     σ 2 ⎥⎦ ⎭
Можно доказать, что параметры a1, a2, σ1, σ2, r имеют сле-
дующий смысл: a1 = M(X), a2 = M(Y), σ1 = D(X), σ2 = D(Y),
r = rX,Y.
      Оказывается, что из некоррелированности составляющих
двумерной нормально распределенной случайной величины сле-
дует их независимость. Важность этого случая объясняется тем,
что наблюдаемые во многих случаях практики двумерные слу-
чайные величины, по крайней мере с некоторым приближение,
можно считать нормальными. Это и есть тот случай, когда поня-
тие независимости и некоррелированности совпадают.
    Убедимся в том, что если составляющие X , Y двумерной
нормально распределенной случайной величины некоррелирова-
ны, то они независимы. Действительно, если в выражении P(x, y)
положить r = 0, то

                 1        ⎛ ( x − a1 ) 2 ⎞  1    ⎛ ( y − a2 ) 2 ⎞
P ( x, y ) =           exp⎜ −            ⎟⋅   exp⎜ −            ⎟.
                2π σ 1    ⎜        2     ⎟
                               2σ 1 ⎠ 2π σ 2     ⎜     2σ 2 ⎟⎠
                                                          2
                          ⎝                      ⎝
Вычислим по формулам (17), (18) плотность распределения
P1(x)      и       P2(y).  Учитывая,    что    функция
1 /( 2π σ 1 ) ⋅ exp( −( x − a1 ) 2 / 2σ 12 )    представляет собой плот-


                                           96