Теория вероятностей. Воскобойников Ю.Е - 92 стр.

μ X ,Y = M ( XY ) − M ( X ) M (Y ). Однако для независимых слу-
чайных величин X и Y M ( XY ) = M ( X ) M (Y ). Значит, в этом
случае μX,Y.= 0. ■
    Заметим, что обращение свойства 2, вообще говоря, неверно.
Так, случайные величины, распределение которых задано табли-
цей 2 зависимы. Чтобы проверить это, достаточно вычислить P(X
= - 1) =7/24 и P(Y = 0) = 1/3, а затем убедиться, что P(X = - 1, Y
= 0) ≠ P(X = - 1)P(Y = 0).
     Тем не менее корреляционный момент μX,Y.= 0. То же самое
можно сказать о зависимых случайных величинах из примера 4.7.
     Случайные величины, корреляционный момент которых ра-
вен нулю, называются некоррелированными.
     Мы можем утверждать, что из независимости случайных ве-
личин следует их некоррелированность. Однако обратное, вооб-
ще говоря, неверно. Чуть позже мы укажем один важный случай,
когда из некоррелированности следует независимость.
     Другой важной характеристикой связи случайных величин
является коэффициент корреляции. В отличие от корреляционно-
го момента он является безразмерной величиной.
     Коэффициентом корреляции rX,Y случайных величин X и
Y называется отношение корреляционного момента μX,Y к про-
изведению средних квадратических отклонений:
                                      μ X ,Y
                           rX ,Y =           .
                                     σ XσY
    Как следует из свойства 1, коэффициент корреляции незави-
симых случайных величин X и Y равен нулю. Кроме этого, ко-
эффициент корреляции обладает еще следующими важными
свойствами.
    Теорема. Абсолютная величина коэффициента корреляции
не превышает 1, т.е. rX ,Y ≤ 1. Причем rX,Y = 1 тогда и только
тогда, когда между случайными величинами X и Y существует
линейная зависимость Y = aX + b и a > 0. Коэффициент корре-
ляции rX,Y = − 1 тогда и только тогда, когда Y = aX + b , но в
этом случае a < 0.

                                     94