Теория вероятностей. Воскобойников Ю.Е - 89 стр.

                    4.3. Коэффициент корреляции
    При изучении пары случайных величин, естественно, возни-
кает вопрос о связи между составляющими. Между ними может
существовать функциональная зависимость. Но чаще наблюдает-
ся взаимосвязь другого рода. Предположим, например, что пара
                                                          2
случайных величин (X, Y) распределена равномерно в круге x +
y2 ≤ 1. Тогда при каждом фиксированном значении составляю-
щей Y = y, где y < 1 , составляющая X принимает значения, за-

ключенные на интеграле ( − 1 − y 2 , 1 + y 2 ). И хотя между слу-
чайными величинами X и Y нет функциональной зависимости,
мы видим, что даже диапазон значений составляющей X зависит
от того, какое значение приняла составляющая Y.
     Для характеристики взаимосвязи случайных величин служат
корреляционный момент и коэффициент корреляции.
     Корреляционным моментом μX,Y случайных величин X и
Y называется
математическое ожидание случайной величины
( X − M ( X )) − (Y − M (Y )), т.е.
             μ X ,Y = M ( X − M ( X ))(Y − M (Y )).              (21)

    Как следует из определения математического ожидания
функции от случайных величин, из формулы (21) для дискрет-
ных случайных величин получим формулу (22):

            μ X ,Y = ∑∑ ( xi − m x )( y j − m y ) pij ,          (22)
                      i     j

где m x = M ( X ), m y = M (Y ), pij = P ( X = xi , Y = y j ).
Для непрерывных случайных величин из формулы (21) получаем
                    +∞ +∞
         μ X ,Y =   ∫ ∫ ( x − m x )( y − m y ) p( x, y )dxdy.    (23)
                    −∞ −∞


                                        91