Теория вероятностей. Воскобойников Ю.Е - 80 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

НГАСУ «Сибстрин» | Новосибирск

Составители: 

Рубрика: 

82
y A D
0
x
x
x
+
Δ X
Рис. 14
Так как значение функции распределения F(x, y) представля-
ет собой вероятность попадания случайной точки (X, Y) в угол с
вершиной (
x, y), то
(( , ) ( , ) ( , )
(,)(,).
PXYFxxyyFxyy
Fx xy Fxy
=+Δ+Δ− +Δ−
−+Δ+
Рассмотрим выражение
( , ) ( ,) (, ) (,)
,
Fx xy yFx xyFxy yFxy
W
xy
+Δ +Δ − +Δ − +Δ +
=
Δ⋅Δ
представляющее отношение вероятности попадания случайной
точки в прямоугольник со сторонами Δx и Δy к площади этого
прямоугольника, т.е. W есть не что иное, как плотность вероят-
ности попадания случайной точки в прямоугольник П. Предпо-
ложим, что функция P(x, y) непрерывна в окрестности точки (x,
y), а
Δx и Δy выбраны достаточно малыми. Введем в рассмот-
рение вспомогательную функцию от x:
,
),(),(
)(
y
yxFyyxF
x
Δ
−
Δ
+
=
ϕ
которая в промежутке [x, x + Δx] имеет производную 
     y                  A                                  D



           0        x                                  x + Δx              X

                                        Рис. 14


    Так как значение функции распределения F(x, y) представля-
ет собой вероятность попадания случайной точки (X, Y) в угол с
вершиной (x, y), то
               P(( X , Y ) = F ( x + Δx, y + Δy ) − F ( x, y + Δy ) −
                           − F ( x + Δx, y ) + F ( x, y ).
   Рассмотрим выражение
     F ( x + Δx , y + Δ y ) − F ( x + Δ x , y ) − F ( x , y + Δ y ) + F ( x , y )
W=                                                                                ,
                                    Δx ⋅ Δy
представляющее отношение вероятности попадания случайной
точки в прямоугольник со сторонами Δx и Δy к площади этого
прямоугольника, т.е. W есть не что иное, как плотность вероят-
ности попадания случайной точки в прямоугольник П. Предпо-
ложим, что функция P(x, y) непрерывна в окрестности точки (x,
y), а Δx и Δy выбраны достаточно малыми. Введем в рассмот-
рение вспомогательную функцию от x:
                               F ( x, y + Δy ) − F ( x, y )
                    ϕ ( x) =                                ,
                                           Δy
которая в промежутке [x, x + Δx] имеет производную




                                            82

Страницы